§ 11. Последний множитель Якоби

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Если

является интегралом системы (23), то уравнение

является следствием этой системы. Для выполнения (24) необходимо и достаточно, чтобы

Если известны независимых между собой интегралов системы (заметим, что их значение позволяет выразить в виде функций то любая функция от них тоже является интегралом и, наоборот, любой интеграл является функцией Или, если — некоторый произвольный интеграл системы (23), то якобиан

и, наоборот, если этот якобиан является функцией и равняется нулю, то является интегралом.

Таким образом, уравнение (25), если известна система независимых интегралов, можно заменить уравнением (26). Обозначим алгебраическое дополнение элемента через , заметив при этом, что не зависит от представим (26) в виде

Имея интегралов можно построить сколь угодно много новых интегралов, беря различные произвольные функции от

При этом уравнения (25) и (27) остаются справедливыми для любого интеграла Следовательно, можно найти такую функцию что

или

Определенная соотношением (29) функция М называется множителем системы уравнений (23). Ясно, что множитель системы зависит от выбора интегралов , следовательно, не является единственным. Для вывода дифференциального уравнения множителя докажем предварительно, что

Рассмотрим для этой цели определитель

Легко видеть, что

Тогда

так как это выражение представляет собой сумму определителей, в которой для каждого слагаемого определителя имеется парный определитель, полученный из него перестановкой двух столбцов и отличающийся от него, следовательно, только знаком. Отсюда согласно (28), следует дифференциальное уравнение в частных производных для множителя

или

Введем в систему (23) новые переменные Тогда

Следовательно, и система (23) примет вид

При этом остается инвариантным. Действительно,

Следовательно, интеграл системы (23) при переходе к новым переменным остается интегралом системы (32).

Вычислим теперь, зная множитель системы (23), множитель системы (32). Умножим обе части (29) на якобиан

Используя равенство

являющееся обобщением правила дифференцирования сложной функции, получаем

Таким образом, вследствие инвариантности множитель системы (32) имеет вид

а дифференциальное уравнение (30) заменяется уравнением

Якоби [6] показал, что множитель системы (23) можно эффективно использовать для ее интегрирования, если известны интегралы

Перейдем к новым переменным:

Так как то систему (23) с учетом (32) представим в виде

где представляют собой после замены в них всех переменных через согласно (34). Для завершения интегрирования необходимо найти решение уравнения

Эйлеров интегрирующий множитель этого уравнения удовлетворяет уравнению

Но вследствие (33) этому уравнению удов летворяет и множитель системы (35):

Таким образом, множитель системы (23) позволяет завершить ее интегрирование, поэтому он называется последним множителем Якоби.

Систему дифференциальных уравнений движения (1) можно записать в виде (23), если Дифференциальное уравнение последнего множителя Якоби системы (1) имеет вид

или

Если известны независимых интегралов системы (1)

и ее последний множитель то ее интегрирование заканчивается квадратурой

а штрихи означают, что в функциях посредством заменены через и