Приложение 1. Доказательство теоремы Лагранжа
Повторяя рассуждения, приведенные вначале (§ 2.1), получим аналогичное (2.1.7) равенство
Однако к этому равенству нельзя применить основную лемму вариационного исчисления, так как вариации 
непроизвольны и вдоль варьируемых кривых 
должны удовлетворяться уравнения (2.1.23). Последнее означает, что
Вычитая из этих уравнений уравнения (2.1.23), получим, повторяя изложенное в § 1.2, уравнения первого приближения для вариаций [уравнения возмущенного движения, если считать 
произвольными возмущениями, а экстремали — программным движением]:
Частные производные в этих уравнениях вычисляются вдоль экстремалей 
.
Умножая каждое из этих уравнений 
на 
и интегрируя, получим
Интегрируя первое слагаемое по частям и учитывая, что 
, получим
Сложим почленно все уравнения системы 
, тогда
или
Суммируя это уравнение с 
, получим
Выберем множители 
так, чтобы они удовлетворяли дифференциальным уравнениям
Другими словами, пусть 
являются решениями системы 
. Эти решения зависят от 
произвольных постоянных.
При таком выборе множителей Лагранжа равенство 
примет вид
Здесь вариации 
произвольны, и поэтому, применяя к 
основную лемму вариационного исчисления, получим уравнения
Таким образом, теорема доказана.
