Идентификация при полностью измеряемом векторе переменных состояний.
Рассмотрим объект (8.1.1), (8.1.2), у которого все переменные состояния доступны непосредственному измерению, а 
- 
-мерный вектор. Требуется определить неизвестные матрицы чисел А и В размеров 
соответственно. Для решения этой задачи введем в рассмотрение настраиваемую модель
(8.1.37)
где 
— 
-мерный вектор переменных состояния модели; К — известная матрица, собственные числа которой имеют отрицательные вещественные части (т. е. К — гурвицева матрица); 
— матрицы настраиваемых параметров.
Вычитая из (8.1.37) уравнение (8.1.1), получим уравнение для ошибки 
:
(8.1.38)
где матрицы ошибок определяются как
(8.1.39)
Требуется найти уравнение адаптации параметров модели, при которых
(8.1.40)
(8.1.41)
Утверждение 8.1.1. Уравнения адаптации (законы настройки) параметров модели имеют вид
(8.1.42)
где 
— произвольные положительно-определенные матрицы чисел размеров 
; 
— положительно-определенная матрица чисел, удовлетворяющая матричному уравнению Ляпунова:
(8.1.42)
где Q — произвольная положительно-определенная матрица.
Законы адаптации (8.1.42) обеспечивают выполнение (8.1.40), а если сигнал 
«достаточно богат», то
Доказательство утверждения опирается на использование функции Ляпунова
(8.1.43)
полная производная которой в силу уравнений (8.1.38), (8.1.42) имеет вид
(8.1.44)
Из (8.1.43), (8.1.44) в соответствии со вторым (прямым) методом Ляпунова следует, что 
.
Убедимся в справедливости (8.1.44) при 
. В этом случае
если 
является решением уравнения 
удовлетворяют уравнениям
которые при 
совпадают с (8.1.42), если учесть, что 
.
Опуская доказательство пределов (8.1.41) ввиду его сложности, отметим, что оно опирается на предположение о «достаточном богатстве» u(t). Это условие необходимо.
Действительно, пусть 
— «бедный» сигнал: 
. Тогда в силу асимптотической устойчивости модели ошибка 
обладает свойством (8.1.40), а так как 
, то из (8.1.42) получим уравнения 
, из которых не следует (8.1.41).
