Главная > Оптимальные и адаптивные системы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Функциональное уравнение метода динамического программирования.

Несмотря на почти очевидный, эвристический характер принципа оптимальности, он имеет своим следствием далеко не очевидное функциональное уравнение. Переходя к его выводу, введем обозначения для значений функционала на оптимальных траекториях:

Рис. 2.3.1.

Представим (полагая — достаточно малое число) функционал (2.3.3) в форме

Допустим, что оптимальное управление на втором участке известно. Значение, которое принимает функционал оптимизации при движении по этому участку, определяется выражением . На основе принципа оптимальности можно записать функциональное уравнение

Учитывая малость , получим

Минимизируя выражение в фигурных скобках по , получим оптимальное управление на первом участке. Однако в этом выражении функция v неизвестна. В связи с этим преобразуем (2 3 5).

Используя разложение в ряд Тейлора, получим

где .

Подставляя эти выражения в (2.3.5), получим

Сокращая в обеих частях равенства и поделив результат на , получим при

Учитывая, что полученный результат справедлив для любых , опустим индекс и запишем

В общем случае, когда , это уравнение имеет вид

Если известно, что оптимальные управления находятся внутри множества U, либо если ограничения подобного рода вообще отсутствуют, то уравнение (2.3.7) можно представить как совокупность уравнений в частных производных:

Таким образом, для решения задачи об оптимальной стабилизации необходимо решить, при краевых условиях

специфическое уравнение в частных производных (2.3.7) либо систему из уравнений в частных производных (2.3.8), (2.3.9). В результате решения этих уравнений получим искомые оптимальные управления , где и функцию которая при является наименьшим значением функционала оптимизации

если выполняются краевые условия (2.3.10). Действительно, пусть оптимальные управления определены. Тогда, вдоль оптимальных траекторий и управлений, уравнение (2.3.7) примет вид

или

Очевидно, что это уравнение можно записать в более компактной форме

Интегрируя его в пределах от до , заключаем, что

Учитывая краевые условия (2.3.10), получим (2.3.11).

При на оптимальные управления накладывается дополнительное требование асимптотической устойчивости. Если функции для всех , то система (2.3.1), (2.3.2) асимптотически устойчива.

Действительно, уравнение (2.3.12) является уравнением второго метода А. М. Ляпунова и поэтому для асимптотической устойчивости оптимальной системы достаточно положительно-определенной функции , полная производная которой в силу дифференциальных уравнений (2.3.1) отрицательно-определенна.

Таким образом, если , то функция в уравнениях метода динамического программирования оказывается функцией Ляпунова, поэтому этот метод иногда называют методом Ляпунова — Веллмана. Заметим также, что для асимптотически устойчивой оптимальной системы краевое условие (2.3.10) выполняется автоматически.

Отметим в заключение, что если функционал оптимизации (2.3.3) имеет более общий вид

то краевое условие (2.3.10) записывается как

1
Оглавление
email@scask.ru