Коэффициент передачи и частота среза оптимальных систем со скалярным управлением.

Найдем связь между коэффициентами функционала

(где для простоты ), в смысле которого оптимальна система (4.3.10), (4.3.11), с одной стороны, и коэффициентом передачи и частотой среза зтой системы — с другой.

Напомним, что для систем без астатизма

для астатических

где —порядок астатизма, а частота среза определяется равенством

Положим в , и учитывая, что обычно , получим для систем без астатизма

Преобразуем это выражение Поскольку в рассматриваемом случае

учитывая, что компоненты вектора имеют вид , где - составляющие вектора,

- присоединенная матрица, получим

Таким образом, (4.3.18) принимает вид

Для астатических систем аналогичное, но уже точное соотношение следует из (4.3.19) после его умножения на при :

Часто по соображениям точности работы системы число задано. Тогда для обеспечения заданного коэффициента передачи разомкнутой системы необходимо определять коэффициенты функционала (4.3.14) из равенств (4.3.20), (4.3.21), в которых и - известные числа, определяемые параметрами объекта управления.

Для установления зависимости частоты среза системы (4.3.10), (4.3.11) от параметров функционала (4.3.14) введем в рассмотрение некоторую частоту , определяемую равенством

которое эквивалентно

Кроме того, запишем тождество (4.3.13) как

либо

где

При тождество (4.3.25) принимает с учетом (4.3.23) вид , откуда следует

Учитывая, что , получим границы для значений амплитудно-частотной характеристики оптимальной системы в точке :

Если полагать наклон логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) в окрестности не менее , то нетрудно заключить, что истинная частота среза отличается от не более чем на 0,4 декады (в 2,5 раза).

Таким образом, если коэффициенты функционала (4.3.14) выбрать так, чтобы при заданном выполнялось равенство (4.3.22), то частота среза оптимальной в смысле такого функционала системы (4.3.10), (4.3.11) будет отличаться от заданной не более чем в 2,5 раза.

Пример 4.3.1. Рассмотрим гирораму, описываемую уравнениями

(4.3.28)

и пусть требуется найти закон управления

(4.3.29)

при котором система (4 3.28), (4.3.29) имеет коэффициент передачи разомкнутой гирорамы и частоту среза, близкие к заданным — .

Для решения этой задачи будем определять параметры из условия минимума функционала

(4.3.30)

коэффициенты которого определяются из соотношений (4.3.21), (4.3.22).

Для нахождения функций вычислим

(4.3.31)

где .

Таким образом,

Подставляя эти выражения в (4 3.21), (4.3.22), получим

Пусть параметры гирорамы имеют значения (4 133), а . Задаваясь значением вычислим по формулам (4.3 32), (4.3.33.) .

Решая задачу AKOP гирорамы при этих значениях коэффициентов функционала оптимизации (4.3 30), найдем

Передаточная функция разомкнутой гирорамы

На рис. 4.3.1 приведена амплитудно-частотная характеристика разомкнутой гирорамы, из которой следует, что требования к выполняются.