Главная > Оптимальные и адаптивные системы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4.2. Построение регуляторов при неполной информации о векторе состояния

Постановка задачи восстановления (наблюдения).

Рассмотрим объект управления, возмущенное движение которого описывается уравнением

и пусть в результате синтеза получено оптимальное управление

Реализация этого управления часто затруднена тем обстоятельством, что не все переменные состояния объекта доступны непосредственному измерению, а можно измерить лишь компоненты некоторого -мерного вектора , связанные с переменными состояния соотношением

В связи с этим возникает задача восстановления (наблюдения, оценки) вектора по результатам измерения на интервале . После того как вектор состояния восстановлен, можно реализовать управление (4.2.2), заменяя в нем действительное состояние восстановленным вектором состояния.

Наблюдатель полного порядка.

Рассмотрим вначале простейшее устройство восстановления, которое описывается уравнением

Очевидно, что если , то решение уравнения (4.2.4) точно совпадает с решением уравнения (4.2.1).

Если , то возникает ошибка восстановления . Она удовлетворяет уравнению

Если объект управления асимптотически устойчив, то ошибка восстановления будет с течением времени уменьшаться .

Этого ограничения свойств объекта можно избежать, если обратить внимание, что в устройстве восстановления (4.2.4) не используются измеряемые переменные . Сравнивая измеренное значение вектора с восстановленным значением , построим наблюдатель с коррекцией по ошибке восстановления. Он описывается уравнением

где - некоторая матрица размеров называемая далее матрицей коэффициентов усиления наблюдателя.

Теперь ошибка восстановления удовлетворяет уравнению

Если существует матрица , такая, что наблюдатель (4.2.6) асимптотически устойчив, то в соответствии с (4.2.7) ошибка восстановления при .

Для стационарных объектов, описываемых уравнениями

наблюдатель (4.2.7) имеет вид

где К — матрица чисел размеров .

Поскольку размерность вектора состояния наблюдателя (4.2.6) или (4.2.9) равна размерности вектора состояния объекта управления, то такие наблюдатели называются наблюдателями полного порядка.

Известно два метода определения матрицы , обеспечивающей асимптотическую устойчивость наблюдателя (4.2.6). Изложение обоих методов ограничим стационарным случаем. При этом здесь и далее будем полагать, что объект (4.2.1), (4.2.3) полностью наблюдаем. В стационарном случае условие полной наблюдаемости имеет вид

Рассмотрим вначале первый из этих методов. Введем новый -мерный вектор v состояния наблюдателя, связанный с соотношением

где Т — неособая матрица чисел размеров . Дифференцируя (4.2.11) с учетом (4.2.9), получим

Учитывая (4.2.11), получим уравнение наблюдателя

где

Исключая К из последних соотношений, заключаем, что

Непосредственно из (4.2.12) следует, что для устойчивости устройства восстановления необходимо и достаточно, чтобы собственные числа произвольной матрицы имели отрицательные вещественные части.

Матрица , входящая в уравнение (4.2.12), является решением матричного алгебраического уравнения (4.2.14), которое единственно, если матрицы и не имеют общих собственных чисел. Матрида F (размеров ), входящая в уравнение (4.2.14), произвольна.

Наблюдатель, описываемый уравнениями (4.2.11), и матричное уравнение (4.2.14) для определения его параметров были впервые получены Люенбергером [4.19], поэтому уравнения (4.2.11), (4.2.12) часто называют наблюдателем Люенбергера.

Очевидно, что размерность вектора состояний этого наблюдателя может быть уменьшена на число компонент измеряемого вектора у. Такой наблюдатель называется наблюдателем пониженного порядка (редуцированным наблюдателем). Он описывается уравнениями

где — (-мерный вектор состояний наблюдателя; S, Ф, Г, F, Т — матрицы чисел соответствующих размеров.

Матрицы S и Ф (размеров ) соответственно) определяются из уравнения

Необходимость этого равенства следует непосредственно из (4.2.15), если учесть (4.2.3) и (4.2.11). Действительно, с учетом (4.2.3), (4.2.11) выражение (4.2.15) примет вид

Если , то это равенство должно являться тождеством, поэтому необходимо (4.2.17).

Прямоугольная матрица Т находится из уравнения, по виду совпадающего с уравнением (4.2.14):

где F — произвольная матрица размеров

Пример 4.2.1. Рассмотрим объект управления, описываемый уравнениями

Пусть непосредственному измерению доступна переменная

Требуется построить наблюдатель пониженного порядка для восстановления переменной состояния .

В соответствии с (4.2.15), (4.2.16) искомый наблюдатель описывается уравнениями

параметры которых находятся из матричных уравнений (4.2.17), (4.2.19), которые в рассматриваемом случае имеют вид:

В развернутой форме уравнение (4.2.24) имеет вид:

Решение этих уравнений имеет вид:

Уравнение (4.2.25) записывается как

отсюда

С учетом (4.2.26), (4.2.27) уравнения наблюдателя (4.2.22), (4.2.23) примут вид:

Из условия устойчивости наблюдателя полагаем .

Пример 4.2.2. Наблюдатель пониженного порядка для переменных состояния гирорамы.

Рассмотрим гирораму, описываемую уравнениями (4.1.20). При эти уравнения имеют вид:

Непосредственному измерению в гирораме доступна лишь одна переменная измеряемая датчиком угла прецессии (см. рис. 4.1.2), поэтому

Уравнение наблюдателя пониженного порядка в рассматриваемом случае имеет вид:

Для простоты матрица , в которой из условия устойчивости наблюдателя .

Параметры наблюдателя (4.2.31), (4.2.32) находятся из матричных уравнений вида (4.2.17), (4.2.19):

1
Оглавление
email@scask.ru