§ 5.1. Оптимальное управление при случайных внешних возмущениях и измеряемом векторе состояний

Рассмотрим нестационарный объект управления

(5.1.1)

где - -мерный вектор внешних возмущений, являющийся гауссовским случайным процессом типа «белый шум». Здесь и далее будем полагать, что математическое ожидание

(5.1.2)

Ковариационная матрица этого процесса

(5.1.3)

где — положительно-определенная матрица размеров , характеризующая интенсивность «белого шума» в момент времени .

Пусть начальное состояние также является гауссовским случайным вектором, не зависящим от внешних возмущений и имеющим при ковариационную матрицу

(5.1.4)

Рассмотрим критерий

(5.1.5)

где - положительно-определенная матрица.

Требуется найти управление как функцию текущей и прошлой информации об , при котором (5.1.5) принимает наименьшее значение.

Так как текущая информация об носит случайный характер, то и формируемое на ее основе оптимальное управление будет случайным (стохастическим) управлением.

Неожиданным оказывается тот факт, что наличие «белого шума» в уравнении (5.1.1) не изменяет оптимального управления, которое было получено ранее (в § 4.1) при отсутствии внешних возмущений. Изменяется лишь значение минимума критерия. Сформулируем этот результат [1.4], [4.7].

Утверждение 5.1.1. Оптимальное стохастическое управление для объекта (5.1.1), при котором функционал (5.1.5) принимает наименьшее значение, имеет вид

(5.1.6)

где

(5.1.7)

- решение матричного уравнения Риккати

(5.1.8)

при краевом условии

(5.1.9)

Значение функционала (5.1.5) при управлении (5.1.6) определяется выражением

(5.1.10)

(В эгом выражении запись означает след квадратной матрицы А. По определению,

где — диагональные элементы матрицы А.)

Рассмотрим теперь стационарный случай, когда матрицы, входящие в уравнение объекта (5.1.1), и функционал (5.1.5) постоянны, а интенсивность стационарного «белого шума» характеризуется матрицей чисел . Наименьшее значение функционала оптимизации имеет вид

(5.1.11)

Во многих практических случаях время функционирования системы велико. Тогда полагают в функционале оптимизации и значение функционала

(5.1.12)

где — установившееся решение матричного уравнения Риккати (4.1.12).

Очевидно, что при число .

Причиной этой ситуации является неограниченная энергия случайного процесса типа «белый шум», поэтому при вместо функционала (5.1.11) принимают функционал

(5.1.13)

Для стационарных систем этот функционал можно записать как

Пример 5.1.1. Оптимальное стохастическое управление гирорамой.

Рассмотрим гирораму, описываемую уравнениями (4.1.20), в которых — стационарный случайный процесс типа «белый шум» с интенсивностью 103. Причиной такого внешнего возмущения являются высокочастотные вибрации, которые приводят к случайным изменениям сухого трения относительно оси .

Требуется найти закон управления, при котором функционал

(5.1.15)

принимает наименьшее значение.

Пусть параметры гирорамы и функционал оптимизации определяются равенствами (4.1.33), а значение

(5.1.16)

тогда оптимальное управление имеет вид (4.1.21), а его параметры определяются соотношениями (4.1.35).

Вычислим значение функционала (5.1.15) при оптимальном управлении. Поделим (5 1.12) на и положим , тогда

(5.1.17)

Так как в соответствии с (4.1.34) , то искомое значение

(5.1.18)

Это значение равно сумме дисперсий

где - дисперсия ; — дисперсия . Используя это равенство, можно получить оценку дисперсии по каждой из переменных состояния.