Задачи Майера и Больца.
В более общем случае функционал (2.1.24) и граничные условия (2.1.25), (2.1.26) имеют вид
где 
заданная функция; 
— известные числа. Если в 
, то задача о нахождении экстремалей этого функционала, удовлетворяющих уравнениям связи (2.1.23) и граничным условиям (2.1.39), называется задачей Больца. Если в 
, то она называется задачей Майера. При 
это задача Лагранжа.
Покажем, что задачи Больца и Лагранжа сводятся к задаче Майера. Действительно, если дополнить уравнения (2.1.23) уравнением 
, а граничные условия (
- равенством 
, то функционал (2.1.38) примет вид 
. Верно и обратное. Действительно, рассмотрим вместо функционала
в задаче Майера функционал
Поскольку 
- известная величина, то экстремали функционалов (2.1.40) и (2.1.41) совпадают.
С другой стороны, нетрудно видеть, что
а задача об экстремуме этого функционала на связях (2.1.23) — это уже задача Лагранжа.
Покажем также, что задача Больца эквивалентна задаче Лагранжа. В связи с этим запишем функционал (2.1.39) как
дополним уравнения (2.1.23) уравнением 
, а краевые условия 
- равенством 
. Тогда из уравнения связи следует 
, задачи Больца и Лагранжа эквивалентны. Выбор той или иной формы вариационной задачи определяется соображениями удобства ее формулировки.
В заключение этого параграфа отметим, что в связи с задачами оптимального управления в последние десятилетия уравнения Эйлера, Эйлера — Лагранжа были получены для дискретных систем [2.4] и систем с распределенными параметрами [2.5].
