Пусть найдены оптимальное управление 
и соответствующие этому управлению траектории 
, начинающиеся в точке (2.2.3).
На рис. П.2.1. приведена кривая, которая содержит конечное 
точек с разрывами первого рода.
Рассмотрим оптимальное управление на бесконечно малом промежутке времени
где 
— бесконечно малая положительная величина, 
. Изменим на этом промежутке времени оптимальное управление до некоторой величины 
, при этом 
. На остальных интервалах 
оставим управление неизменным и равным 
. Такая вариация экстремали 
носит название «игольчатой» вариации. Игольчатая вариация принципиально отличается от применяемой в классическом вариационном исчислении, где вариации экстремалей предполагаются непрерывными и необходимое число раз непрерывно дифференцируемыми.
Рис. П.2.1.
Отметим, что величина приращения 
на рассматриваемом интервале 
может быть любой, лишь бы величина 
не выходила из допустимых пределов. Например, если 
то модуль разности 
может лежать в пределах от 0 до 
.
Для игольчатой вариации характерно, что, несмотря на конечную величину разности 
, влияние этой вариации на последующее движение объекта бесконечно мало, так как площадь импульса 
бесконечно мала. Убедимся в этом.
В результате изменения управления на бесконечно малом интервале 
дальнейшее движение 
при 
отличается от оптимального (рис. П.2.2.). Очевидно, что 
. Принимая во внимание, что 
, получим
Рис. П.2.2.
Эта разность бесконечно мала, но отлична от нуля, и поэтому при 
будет существовать расхождение между траекториями 
. Однако это расхождение также будет бесконечно мало.
Введем вектор вариации 
с координатами 
, определяемый как
При этом на основе 
можно записать начальное значение этой вариации
Полагая кривую 
«программной» траекторией, составим уравнение возмущенного движения для системы (2.2.1).
Это уравнение имеет в первом приближении вид
Решения этих уравнений при начальных условиях (П.2.4) описывают расхождение траекторий 
при 
.
Величина 
представляет собой изменение 
наименьшего (оптимального) значения функционала (2.2.5), вызванное игольчатой вариацией.
Так как оптимальное управление 
обеспечивает наименьшее значение 
, то при любом другом управлении 
может лишь увеличиваться, поэтому
Перепишем это соотношение в виде
где 
- вектор, подобранный так, чтобы произведение 
было равно 
.
Очевидно, что
При 
приращение 
достигает своего наибольшего значения, равного нулю, а соотношение 
означает, что любое неоптимальное управление «хуже», чем оптимальное: оно дает меньший эффект, чем оптимальное.
Значение 
должно выбираться так, чтобы сделать величину 
возможно большей, и для неоптимальных управлений эта величина равна
Заметим одно важное обстоятельство значение 
можно выбирать независимо от процесса управления, предшествовавшего времени 
, и это значение должно выбираться так, чтобы максимизировать величину 
, определяемую выражением 
Использование 
для выбора 
представляется затруднительным, ибо для вычисления 
необходимо проинтегрировать уравнение 
при начальных условиях 
и найти 
в зависимости от этих начальных условий и управления 
.
В связи с этим покажем, что вектор 
, являющийся решением уравнения (2.2.12), удовлетворяет соотношению
Тогда при 
получим равенство
Теперь можно судить о величине 
по левой части этого равенства, которая явно зависит от 
.
Из 
следует, что
и тогда
или
Запишем это равенство в развернутом виде
Используя (2.2.12) и 
, получим
Таким образом, соотношение 
доказано.
Теперь можно рассматривать величину 
. Представим это соотношение с учетом 
в виде
Из 
следует, что разность 
это вектор, компоненты которого являются величинами того же порядка малости, что и 8, и поэтому вектор 
можно заменить на 
.
Сокращая 
на 
и учитывая выражение (2.2.10), заключаем,
Это означает, что функция 
достигает максимума при 
и, таким образом, основное утверждение (2.2.17) доказано.
управления 
и будем полагать также правый конец траектории свободным, т. е. будем полагать, что числа 
не заданы.
