Методы (принципы) нахождения экстремума однопараметрических объектов.

Начиная с 1922 г. разработано большое число экстремальных систем. Представление о них можно получить из справочника [7.1] по самонастраивающимся системам, где приведены аннотации более ста работ, выполненных в 1922—1965 гг. и содержащих описание различных, в основном однопараметрических, экстремальных систем. Если как-то классифицировать идеи и принципы, на которых построены эти системы, то можно выделить следующие методы (принципы) поиска экстремума в однопараметрических экстремальных системах: измерение производной, запоминание экстремума, периодический поисковый сигнал, шаговые алгоритмы.

Рассмотрим сущность первых трех методов, а шаговые алгоритмы будут изложены подробно далее.

Метод измерения производной основан на том, что производная меняет свой знак при прохождении СЭР через экстремум (рис. 7.1.3).

Для измерения производной можно измерить производные , разделить первую на вторую, тогда получим

Если , то

Метод запоминания экстремума, являющийся своеобразным методом измерения производной, заключается в использовании разности между текущим и экстремальным значением функции качества для нахождения момента реверса системы. Для определения экстремального значения функции используется запоминающее устройство (ЗУ), включенное так, что на его вход поступают только положительные (при поиске максимума) или только отрицательные (при поиске минимума) приращения показателя качества. На рис. 7.1.4 представлена статическая характеристика объекта и соответствующая ей диаграмма выхода запоминающего устройства .

Рис. 7.1.4.

Для формирования управляющего воздействия используется разность . Если система движется к экстремуму, то , следовательно, . После достижения экстремума система продолжает двигаться в том же направлении. При этом . Разность становится отличной от нуля и система реверсируется. В момент реверса производится стирание информации, записанной в ЗУ.

Рис. 7.1.5.

Метод периодического поискового сигнала. Пусть состояниеобъекта, имеющего экстремальную статическую характеристику, характеризуется значениями (рис. 7.1.5).

Будем изменять в окрестности по синусоидальному закойу. Если амплитуда этих колебаний мала, то выход объекта будет также изменяться по синусоидальному закону, при этом фаза входных и выходных колебаний будет совпадать для всех . Если состояние объекта характеризуется значениями , то на его выходе устанавливаются периодические колебания, сдвинутые на 180° относительно входных. Это будет иметь место для всех .

Таким образом, по сдвигу фаз можно определить направление движения СЭР к экстремуму. В этом последнем методе используются специальные поисковые сигналы, тогда как в первых двух методах поисковые и рабочие сигналы (управляющие воздействия) не разделены.

В соответствии с этими методами определения экстремума СЭР можно классифицировать следующим образом: 1) системы, реагирующие на знак или величину производной; 2) системы с запоминанием экстремума; 3) системы со вспомогательной модуляцией, определяющие направление движения к экстремуму по сдвигу фаз между входными и выходными колебаниями.

СЭР с запоминанием экстремума.

На рис. 7.1.6 приведена структурная схема СЭР с запоминанием экстремума. Выходная переменная объекта подается на запоминающее устройство, которое фиксирует только увеличение этого сигнала. Сигнал с запоминающего устройства непрерывно подается на элемент сравнения, где этот сигнал сравнивается с текущим значением . Разность , достигнув величины 6, приводит к срабатыванию сигнум-реле.

Рис. 7.1.6.

Рис. 7.1.7.

Сигнум-реле (CP) — это логическое устройство (например, триггер), которое имеет два устойчивых состояния и работает в счетном режиме. Выход сигнум-реле .

Изменение знака (реверс исполнительного механизма) происходит только при уменьшении .

Исполнительный механизм (ИМ) — это двигатель постоянного тока, описываемый уравнением

(7.1.5)

После срабатывания СР значение сбрасывается, и запоминание сигнала начинается снова. Один из вариантов схемы запоминающего устройства с элементом сравнения приведен на рис. 7.1.7.

Напряжение , пропорциональное значению выходной переменной объекта , подается через диод Д на запоминающий конденсатор С. Диод шунтирован нормально открытым контактом сигнум-реле, который замыкается при срабатывании сигнум-реле (реверсе ИМ). При увеличении диод пропускает входное напряжение и напряжение на конденсаторе равно . Потенциалы точек А и Б при этом равны и .

При уменьшении потенциал точки Б становится больше потенциала точки А и диод запирается, а Таким образом, выходное напряжение пропорционально разности между текущим значением и его максимальным значением

Когда превысит зону нечувствительности сигнум-реле, последнее срабатывает и реверсирует ИМ. При этом контакт кратковременно замкнется и потенциалы точек А и Б сравняются — произойдет сброс запомненного значения . После этого конденсатор запоминает текущее значение и начинается новый цикл работы системы.

Приведем временные диаграммы работы СЭР с запоминанием экстремума (рис. 7.1.8).

Пусть в момент времени состояние объекта характеризуется значениями соответствующими точке , и предположим, что в этот момент был включен экстремальный регулятор, который после включения начал увеличивать значение управляющего воздействия р. При этом величина начнет уменьшаться. Запоминающее устройство не реагирует на уменьшение , и в результате на входе сигнум-реле появляется сигнал .

В момент времени этот сигнал достигает зоны нечувствительности сигнум-реле (точка ), последнее срабатывает, произведя реверс ИМ. После этого запомненное в момент времени значение сбрасывается и ЗУ запоминает значение .

Вход объекта теперь уменьшается, а выходная переменная возрастает. Движение происходит по траектории . В точке система достигает экстремума, однако входное воздействие продолжает уменьшаться. Вследствие этого после точки переменная уже уменьшается. Теперь на входе СР опять появляется сигнал разности . В точке , когда , сигнум-реле срабатывает, производя реверс и сброс запомненного значения и т. д. Таким образом, вокруг экстремума регулируемой величины устанавливаются колебания.

Коммутатор поверочных реверсов в СЭР с запоминанием экстремума.

До сих пор предполагалось, что статическая экстремальная характеристика объекта не изменяется с течением времени. Такое предположение не типично для экстремальных систем. Действительно, если статическая характеристика объекта неизменна, то экспериментально или расчетным путем можно один раз определить значение управляющего воздействия , соответствующее экстремуму выхода, задать это воздействие и тогда отпадает необходимость в описанных устройствах и методах поиска экстремума.

Поскольку для самонастраивающихся систем, и в частности экстремальных, характерно изменение характеристик объекта, исследуем работоспособность СЭР с запоминанием при воздействии на систему интенсивных монотонных возмущений, результатом действия которых является смещение экстремальной характеристики вверх.

Рис. 7.1.8.

Пусть в момент времени, когда состояние СЭР характеризовалось координатами (точка на рис. 7.1.9) и исполнительный механизм был включен на уменьшение управляющего воздействия, на объект начали действовать возмущения, вызывающие смещение экстремальной характеристики вначале в положение , затем в положение II. Пусть за время изменения управляющего воздействия от до статическая характеристика, поднимаясь вверх, заняла положение I, тогда выходная переменная увеличится до значения Сигнум-реле не произведет реверс ИМ (поскольку выходная переменная возрастает) и величина будет продолжать уменьшаться. За время перехода от и интенсивных монотонных возмущениях характеристика объекта может принять положение II. Реверса ИМ не произойдет. Таким образом, система будет двигаться в неправильном направлении, удаляясь от экстремума. Аналогичный процесс будет протекать, если к моменту действия возмущения состояние объекта характеризуется точкой МА и входное воздействие увеличивается.

Рис. 7.1.9.

Для обеспечения работоспособности СЭР, находящихся под воздействием интенсивных монотонных возмущений, поиск экстремума не должен быть монотонным. Для создания немонотонного поискового движения в схему экстремального регулятора включают специальное устройство — коммутатор поверочных реверсов, которое через определенные промежутки времени Тк производит реверс ИМ независимо от действия сигнум-реле.

Опишем работу СЭР с коммутатором поверочных реверсов при отсутствии внешних возмущений. Пусть в начальный момент, характеризуемый точкой (рис. 7.1.10), экстремальный регулятор оказался включенным так, что происходит увеличение управляющего воздействия . Выходная переменная при этом также увеличивается (движение от до ). В момент времени срабатывает коммутатор, происходит реверс и начнет убывать.

Рис. 7.1.10.

Когда величина, уменьшаясь по абсолютной величине, превысит (в момент U) зону нечувствительности сигнум-реле, произойдет реверс, величина начнет возрастать и СЭР будет двигаться к экстремуму. Через время выходная переменная достигнет точки , в которой под действием коммутатора произойдет реверс, и т. д.

Рассмотрим теперь поведение СЭР с коммутатором поверочных реверсов при действии монотонных возмущений. Предположим снова, что состояние СЭР к моменту действия возмущения характеризуется точкой (рис. 7.1.11) и движение при этом происходит в сторону уменьшения .

Рис 7.1.11.

Из-за действия возмущения, смещающего статическую характеристику вверх, выходная переменная будет возрастать и сигнал с сигнум-реле на реверс входного воздействия не поступает (движение от до ). Через промежуток времени Тк коммутатор поверочных реверсов осуществит реверс ИМ.

Выход продолжает возрастать. Через период в точке произойдет новый реверс и т. д. Таким образом, пока действуют интенсивные возмущения и сигнум-реле не срабатывает, коммутатор периодически изменяет знак скорости управляющего воздействия. В результате управляющее воздействие не удаляется от , а изменяется вблизи значения , при котором начали действовать интенсивные возмущения.