Структура оптимальной системы с наблюдателем.

Возвращаясь к рассмотрению системы (4.2.1), (4.2.2), реализация закона управления (4.2.2) которой затруднена тем, что не все переменные состояния доступны непосредственному измерению, отметим, что в этом случае естественно использовать наблюдатель (4.2.6), а затем воспользоваться законом управления (4.2.2) применительно к восстановленному состоянию.

Полученная таким образом система описывается уравнениями:

На рис. 4.2.1 приведена структурная схема системы с наблюдателем, построенная на основе уравнений .

Рис. 4.2.1.

Исследуем устойчивость системы . Осуществим эквивалентные преобразования этой системы. Вычитая из первого уравнения системы (4.2.65) уравнение (4.2.66) и заменяя в , получим после подстановки (4.2.67) в (4.2.65) уравнения:

Если матрица коэффициентов усиления наблюдателя выбрана так, что наблюдатель (4.2.66) асимптотически устойчив при , то решение уравнения при независимо от начального состояния .

Пусть матрицы , входящие в уравнение (4.2.69), ограничены и при , тогда , если асимптотически устойчива система

(4.2.70)

В стационарном случае система имеет вид

Эквивалентная ей система, аналогично (4.2.68), (4.2.69), записывается как

Характеристический полином системы (4.2.74)

Из этого выражения следует, что корни характеристического полинома оптимальной системы с наблюдателем состоят из корней характеристического полинома оптимальной системы (у которой все переменные состояния доступны непосредственному измерению) и корней характеристического полинома наблюдателя. Таким образом, можно производить раздельное построение закона управления и наблюдателя.

Пример 4.2.4. Гирорама с наблюдателем полного порядка. Рассмотрим при гирораму (4.1.20) с оптимальным в смысле функционала (4.1.22) управлением (4.1.21). В связи с тем что непосредственному измерению доступна лишь одна переменная состояния воспользуемся для восстановления остальных неизмеряемых переменных состояния наблюдателем Тогда гирорама с наблюдателем будет описываться уравнениями

в которых - уравнения регулятора, параметры которого определяются решением задачи об оптимальном управлении, описанным в примере 4.1.2, а параметры находятся в результате построения наблюдателя, рассмотренного в примере 4.2 3.

Характеристический полином системы (4.2.76), (4.2.77), если положить в , имеет вид

В соответствии с характеристический полином наблюдателя

а характеристический полином системы