Уравнения Эйлера — Пуассона.
Исследуем на экстремум функционал
в котором функцию 
будем считать дифференцируемой по своим аргументам необходимое число раз.
Пусть граничные условия имеют вид
где 
— заданные числа.
Нетрудно показать, повторяя изложенное при выводе уравнения Эйлера, что экстремали функционала (2.1.16) являются решением уравнения
которое называется уравнением Эйлера — Пуассона. Это уравнение четвертого порядка, его решение 
содержит постоянные 
, которые определяются из граничных условий (2.1.17).
Пример 2.1.2. Найдем экстремали функционала
при граничных условиях (2.1.17).
Вычислим вначале
тогда уравнение Эйлера — Пуассона имеет вид
Характеристический полином этого уравнения
Его корни
И, таким образом, экстремаль функционала имеет вид
где 
определяются из граничных условий (2.1.17).
