Границы частотных показателей качества оптимальных систем.

Исследуем частотные свойства системы (4.3.10), (4.3.11) со скалярным управлением оптимальной в смысле функционала (4.3.14). Для общности будем полагать, что в этом функционале часть коэффициентов равна нулю. Однако требование полной управляемости пары выполняется.

Оказывается, для частотных показателей качества (запаса устойчивости по фазе , запаса устойчивости по модулю L и показателя колебательности М) оптимальных систем можно указать их границы, не зависящие от выбора коэффициентов функционала (4.3.14).

Утверждение 4.3.1. Запасы устойчивости и показатель колебательности системы (4.3.10), (4.3.11) удовлетворяют неравенствам

Доказательство утверждения опирается на тождество (4.3.13). Учитывая, что

запишем на основе (4.3.13)

Равенству соответствует в плоскости годографа амплитудно-фазовой характеристики (АФЧХ) окружность единичного радиуса с в точке .

Рис. 4.3.1.

Эта окружность показана на рис. 4.3.2. Неравенство (4.3.37) означает, что годограф АФЧХ оптимальной системы не пересекает зоны (это запретная зона на рис. 4.3.2 заштрихована), ограниченной окружностью единичного радиуса с центром в точке .

Опираясь на такую геометрическую интерпретацию условия оптимальности в частотной форме (4.3.13) и неравенства (4.3.36), нетрудно доказать соотношения (4.3.35) для границ частотных показателей качества.

Действительно, пересечение запретной зоны с кругом единичного радиуса с центром в начале координат образует сегмент, в который вписываются два равносторонних треугольника (сторонами этих треугольников являются радиусы пересекающихся окружностей), которые опираются на дугу, отмеченную на рисунке крестиками, а поэтому угол равен 120°. Это означает, что запас по фазе .

Переходя ко второму из неравенств (4.3.35), отметим, что отрезок вещественной оси отмеченный на рисунке крестиками, находится внутри запретной зоны. Это означает, что запас устойчивости по модулю для оптимальных систем с АФЧХ второго рода не менее двух, а с АФЧХ первого рода — бесконечно велик. Последнее следует из того, что участок вещественной оси не может пересекаться АФЧХ оптимальной системы.

Граница показателя колебательности оптимальных систем находится следующим образом. На рис. 4.3.2 штрихпунктирной линией нанесена окружность радиуса с центром в точке , где Эта окружность составляет геометрическое место точек, запретных для АФЧХ с показателем колебательности . Так как эта окружность находится внутри запретной зоны, касаясь границы этой зоны изнутри, то и, таким образом, утверждение доказано.

Рис 4.3.2.

Отметим, что доказательство опиралось на неравенство (4.3.37), которое не содержит коэффициентов функционала оптимизации. Правда, при этом требуется, чтобы , так как в этом случае выполняется (4.3.36), поэтому границы (4.3.35) не зависят от выбора этих коэффициентов.

Пример 4.3.2. Определим запасы устойчивости и показатель колебательности гирорамы с законом управления, полученным в примере 4.3.1. Передаточная функция гирорамы в разомкнутом состоянии определяется выражением (4.3.34). На рис. 4.3.1 приведены логарифмическая амплитудно-частотная характеристика и функция (где - фазочастотная характеристика), соответствующие передаточной функции (4.3.34). Нетрудно видеть, что . На этом же рисунке приведен график

из которого следует, что показатель колебательности

Отметим, что в более общем случае функционал (4.3.14) содержит произведения и :

в матричной форме он принимает вид

где — -мерный вектор.

Условие неотрицательности подинтегральной квадратичной формы переменного . Вводя новые переменные нетрудно привести функционал (4.3.38) к форме (4.3.14) и использовать процедуру АКОР. Однако для частотных показателей качества систем, оптимальных в смысле функционала (4.3.38), уже нельзя указать границ (4.3.35). Более того, можно показать, что для любой (в том числе и сколь угодно «плохой» по частотным показателям) системы (4.3.10), (4.3.11) можно построить неотрицательный функционал вида (4.3.38), в смысле которого эта система является оптимальной.