Построение наблюдателя полного порядка на основе модального управления.

Описанный выше метод построения наблюдателя свелся к преобразованию уравнения (4.2.9) к виду (4.2.11), (4.2.12), который не содержит в явной форме матрицы К. Рассмотрим теперь явный метод определения этой матрицы в уравнении (4.2.9).

Итак, необходимо определить матрицу К так, чтобы корни полинома имели отрицательные вещественные части. В этом случае наблюдатель

асимптотически устойчив, и ошибка восстановления уменьшается с течением времени.

Потребуем нечто большее, чем асимптотическая устойчивость, а именно будем искать матрицу , такую, чтобы корнями характеристического полинома наблюдателя являлись наперед заданные числа . Последнее означает, что матрица К должна удовлетворять тождеству (по )

Для построения такой матрицы К используем свойство дуальности (двойственности) задач управления и наблюдения и применим теорию модального управления.

В соответствии с теорией модального управления [4.16] для всякого полностью управляемого объекта

всегда можно построить управление

такое, что корни (моды) характеристического полинома замкнутой системы

имеют наперед заданные значения .

Процедура построения такой матрицы С (процедура построения модального управления) приводится ниже.

Для описания двойственности задач управления и наблюдения введем вспомогательную систему «управления»

Нетрудно видеть, что если объект (4.2.8) полностью наблюдаем, то «объект» (4.2.40) полностью управляем.

Характеристический полином системы (4.2.40), (4.2.41)

Очевидно, что если в качестве матриц А и В уравнения (4.2.37) положить матрицы и D объекта (4.2.8), определить матрицу С «закона управления» так, чтобы корни полинома (4.2.39) имели значения , то матрица

является искомой матрицей наблюдателя (4.2.9).