Алгоритм адаптации с использованием чистых производных выхода объекта.
Рассмотрим объект (8.3.6) с моделью (8.3.7). Будем полагать, что передаточная функция объекта и модели имеют вид
а передаточная функция объекта по задающему воздействию совпадает с 
с точностью до замены 
на 
.
Это означает, что уравнения объекта и модели в форме «вход — выход» записываются как
(8.3.21)
Рис. 8.3.2.
Отметим попутно, что структура передаточных функций (8.3.20) свидетельствует о том, что уравнения (8.3.6), (8.3.7) можно с помощью неособого преобразования привести к канонической форме:
(8.3.23)
в которой
(8.3.24)
Переходя к построению адаптивного регулятора, будем полагать, что возможно точное (чистое) вычисление производных измеряемых переменных 
и 
до 
порядка включительно.
Тогда уравнение собственно регулятора будем искать в виде
(8.3.25)
где 
- i-я производная 
; 
- настраиваемые параметры регулятора.
Подставляя (8.3.25) в (8.3.21) и вычитая из (8.3.21) уравнение (8.3.22), получим уравнение для ошибки 
:
(8.3.26)
Утверждение 8.3.2. Алгоритм настройки параметров регулятора (8.3.25), при котором достигается цель адаптации 
, имеет вид
где 
, а вектор 
определяется из выражения
(8.3.29)
в котором положительно-определенная матрица 
является решением уравнения Ляпунова
(8.3.30)
(
— произвольная положительно-определенная матрица). Алгоритм (8.3.27), (8.3.28) исторически первый обоснованный алгоритм адаптивного управления с эталонной моделью. Он был получен в работах [8.4, 8.7].
Переходя к доказательству утверждения 8.3.2, введем в рассмотрение векторы
используя которые запишем (8.3.26) в виде
(8.3.26)
Для исследования устойчивости системы (8.3.21), (8.3.22), (8.3.25), (8.3.27), (8.3.28) по переменной 
построим функцию Ляпунова
в которой положительно-определенная матрица 
является решением уравнения (8.3.30), а 
.
Полная производная функции 
в силу уравнения (8.3.26)
Очевидно, что
(8.3.32)
если
(8.3.33)
Принимая во внимание, что параметры 
модели и объекта постоянны, заключаем, что (8.3.33) совпадает с (8.3.27), (8.3 28).
Пример 8.3.2. Пусть имеется объект управления, описываемый уравнением
(8.3.34)
параметры которого 
неизвестны Требуется найти алгоритм настройки параметров регулятора
при котором выход 
объекта приближается к значениям выходной переменной эталонной модели, описываемой уравнением
(8.3.36)
с заданными параметрами. На основе (8 3 27), (8.3.28) получаем искомый алгоритм настройки
(8.3.37)
в котором 
— произвольные положительные числа, 
где 
— элементы матрицы 
, являющейся решением матричного уравнения
Здесь 
— произвольные положительные числа.
Рис. 8.3.3.
Структурная схема адаптивной системы приведена на рис. 8.3.3.
