Поисковые алгоритмы экстремального управления однопараметрическими объектами.

Откажемся теперь от первой операции (идентификации параметра а) рассматриваемого алгоритма экстремального управления. Тогда правая часть (7.2.6) содержит неопределенный параметр а. В связи с этим запишем приближенно выражение производной

где — достаточно малое число, называемое величиной пробного шага.

При выражение в правой части (7.2.10) совпадает с производной .

Значения доступны непосредственному измерению, и поэтому приближенное значение производной может быть получено путем вычитания результатов измерений при двух значениях управляющего параметра (отстоящих друг от друга на величину ) и делении разности на число . Так как испытания объекта пробными шагами управляющего воздействия требуют определенного времени Т, то используется дискретный алгоритм адаптации вида (7.2.6), называемый далее дискретным алгоритмом поиска экстремума:

(7.2.11)

Введем в рассмотрение число , называемое параметром рабочего шага. Отметим, что часто этот термин будем использовать и для числа . Таким образом, поисковый алгоритм экстремального управления состоит из операций: 1) в момент времени к экстремальному объекту прикладываются пробные воздействия , и измеряются значения выхода объекта; 2) на основе (7.2.11) формируется первый рабочий шаг () к объекту прикладывается управляющее воздействие .

Затем вновь прикладываются пробные воздействия , измеряется выход объекта и вычисляется значение управляющего параметра на втором шаге и т. д. Отметим, что величина второго рабочего шага .

Выбор параметра рабочего шага.

Алгоритм адаптации (7.2.11) содержит пока неопределенный параметр рабочего шага . Требования, которые предъявляются к его величине, противоречивы. С одной стороны, для увеличения скорости сходимости к экстремальному значению значения следует выбирать большими. Однако при этом можно «проскочить» экстремум на значительную величину, затем при возврате вновь происходит «проскок» экстремума и в системе возникают колебания большой амплитуды. Выходом из этого противоречия является выбор больших значений в начале поиска экстремума и назначение малых при приближении к экстремуму. Но так как значение неизвестно, то выбор оптимальных значений можно производить адаптивно. Для этого достаточно увеличивать при совпадении знаков двух последовательных рабочих шагов поиска и уменьшать в противном случае. Примером алгоритма адаптации величины рабочего шага может служить алгоритм

(7.2.12)

в котором — значения рабочих шагов алгоритма (7.2.11) экстремального управления; v — некоторое положительное число, выбираемое из условия устойчивости процесса (7.2.11), (7.2.12).

Исследуем сходимость решения (7.2.11) к числу . Будем полагать, что пробный шаг Др достаточно мал, так что величина

(7.2.13)

вычисляется точно. Тогда (7.2.11) примет вид

(7.2.14)

Наложим на функцию некоторые ограничения. Потребуем, чтобы эта функция удовлетворяла неравенству

(7.2.15)

где — неизвестные положительные постоянные числа.

Для пояснения геометрического смысла этого неравенства рассмотрим графики, приведенные на рис. 7.2.1. На этом рисунке приведены типичные зависимости при различных значениях параметра .

Рис 7.2.1.

Пунктиром показана граничная линия, описываемая правой частью (7.2.15), где для простоты далее полагаем . Определим эффективность шага числом

(7.2.16)

модуль которого характеризует скорость приближения к экстремуму при рабочем шаге. Действительно, если , то произошло удаление от , а если , то приближение к экстремуму. Найдем условия, при которых

(7.2.17)

Подставляя в (7.2.17) выражение (7.2.14), получим

Отсюда получаем условие сходимости

или

(7.2.19)

Непосредственно из рис. 7.2.1 следует, что , и поэтому .

На основе (7.2.15) получим , и, таким образом, условие сходимости процесса поиска экстремума

(7.2.20)

Если величина s известна, то выбор

(7.2.21)

обеспечивает устойчивость процесса поиска экстремума.

Пример 7.2.3. Найдем условия сходимости процесса поиска экстремума объекта (7.2 3). Дискретный алгоритм поиска (7.2.11) имеет в рассматриваемом случае вид

(7.2.22)

где

определяется для каждого рабочего шага по результатам пробных шагов, так как а — неизвестное число. Для выбора параметра рабочего шага определим . График функции является прямой линией, совпадающей с граничной.

Действительно, представим , тогда

(7.2.23)

и, таким образом, .

Используя это значение , определим в формуле (7.2.21) постоянное значение рабочего шага

(7.2.24)

при котором процесс поиска экстремума устойчив.

Отметим, что значение параметра рабочего шага можно получить непосредственно, исследуя устойчивость линейного разностного уравнения (7.2 22). Действительно, его можно записать как

Решение этого уравнения сходится к значению , если

Отсюда следует

(7.2.26)

Если величина s неизвестна, то значения изменяются на каждом рабочем шаге, причем с ростом к значения должны монотонно уменьшаться до нуля:

(7.2.27)

Тогда для любого конечного s всегда существует шаг , после которого выполняется условие сходимости (7.2.20). Однако при монотонно уменьшающихся может случиться так, что рабочие шаги (которые с ростом k становятся все меньше и меньше) не смогут покрыть исходное расстояние , которое неизвестно и может быть очень большим. Тогда процесс поиска прекратится, не достигнув . Это накладывает ограничения на выбор , которые выражаются условием

(7.2.28)

Убедимся в достаточности этого условия. Будем полагать, что процесс поиска экстремума протекает без перерегулирования. Путь , проходимый за N шагов поиска, определяется по формуле

(7.2.29)

где

Так как должно выполняться неравенство

(7.2.30)

где велико, то (7.2.28) является достаточным для его выполнения.

Примером последовательности чисел , удовлетворяющих условиям (7.2.27), (7.2.28), может служить гармонический ряд которого равна бесконечности.