§ 7.3. Экстремальное управление в условиях помех. Стохастическая аппроксимация

Постановка задачи экстремального управления однопараметрическими объектами в условиях помех. Существо подхода к ее решению. Если реализовать алгоритм (7.2.11) поиска экстремума объекта (7.2.1), то часто оказывается, что изменение управляющего параметра реализуется неточно, кроме того, на вход объекта поступает вместе с сигналом управления некоторое возмущение, а измерение выхода объекта сопровождается помехами.

Уравнение объекта (7.2.1) в этом случае принимает вид

(7.3.1)

где — внешнее возмущение, прикладываемое ко входу объекта вместе с управляющим параметром; — помеха, сопровождающая процесс измерения выхода объекта; — измеряемая переменная (результат измерения ).

Функции — случайные процессы с неизвестными законами распределения. Однако известно, что они имеют нулевое математическое задание и ограниченную дисперсию. Требуется найти алгоритм поиска экстремума, при котором математическое ожидание выхода достигает наименьшего значения.

При решении этой задачи будем для простоты полагать и тогда уравнения (7.3.1) примут вид

(7.3.2)

Существо метода стохастической аппроксимации состоит [7.6], [7.7] в следующем: каждое измеренное состояние объекта, каково бы оно ни было, должно быть так использовано для изменения управляющего воздействия, что в пределе выполнится условие

(7.3.3)

Будем изменять управляющее воздействие в соответствии с алгоритмом

(7.3.4)

который отличается от (7.2.11) тем, что в нем используются результаты измерений

(7.3.6)

где - случайные величины, являющиеся реализацией помех измерения на интервале , так как измерения осуществляются в различные моменты времени в течение указанного интервала.

Заметим также, что в отличие от (7.2.11) величина пробных шагов не постоянна, а изменяется при .

Метод стохастической аппроксимации позволяет найти также параметры рабочего и пробного шагов , при которых алгоритм (7.3.4) обеспечивает нахождение экстремума (выполнение условия ) в условиях помех, относительно которых известно лишь, что они имеют нулевое математическое ожидание и дисперсия их ограничена.

Определение параметров рабочего и пробного шагов

Утверждение 7.3.1. Для сходимости поискового алгоритма (7.3.4) нужно, чтобы параметры рабочих и пробных шагов удовлетворяли условиям

(7.3.7)

Указанные в утверждении условия выполняются, если, например,

(7.3.9)

где .

Поясним происхождение условий (7.3.7), (7.3.8). Учитывая (7.3.5) и (7.3.6), запишем алгоритм (7.3.4) в виде

(7.3.11)

Полагая, что пробные шаги достаточно малы так, что , и учитывая, что вычислим математическое ожидание эффективности шага:

(7.3.12)

Нетрудно видеть, что среднее значение совпадает с (7.2.18) при отсутствии помех, и поэтому для сходимости процессов «в среднем» необходимо выполнение соотношений (7.2.27), (7.2.28), которые совпадают с (7.3.7).

Переходя к условию (7.3.8), вычислим математическое ожидание и дисперсию рабочего шага . Очевидно, что

(7.3.13)

где — дисперсии случайных величин .

Естественно, что сумма дисперсий сколь угодно большого числа рабочих шагов, осуществляемых в процессе поиска, должна быть ограничена

где .

Отсюда следует условие (7.3.8). Оно означает, в частности, что величина пробного шага должна стремиться к нулю медленнее, чем , так как в противном случае величины дисперсий рабочих шагов, как следует из . будут расти до недопустимо больших величин.