Общий вид уравнений стабилизирующего управления.

В общем случае стабилизирующие управления описываются не алгебраическими уравнениями (1.2.10), а дифференциальными уравнениями вида

где - -мерный вектор переменных состояния устройства управления (регулятора); и -мерные векторы соответственно.

В ряде случаев не все переменные состояния объекта управления доступны непосредственному измерению.

Пусть измеряются некоторые переменные , связанные с переменными объекта соотношениями

(1.3.6)

где - -мерный вектор измеряемых переменных; — заданный -мерный вектор. В этом случае уравнения регуляторов имеют вид

Далее будем опускать символ в соотношениях (1.2.2.)...(1.2.9), (1.2.10), относящихся к системам стабилизации. Если теперь для общности изложения заменить функцию под интегралом (1.2.9) функцией , то модели объекта управления и модели целей управления (критерии качества управления) в системах программного управления и стабилизации будут совпадать. Это естественно, так как с математической точки зрения несущественно происхождение этих моделей.

Используя матричную форму, запишем также, отбрасывая символ , уравнения (1.3.2) первого приближения и уравнение (1.2.14) для регулируемых переменных:

где - матрицы, элементами которых являются известные функции времени. Эти матрицы имеют размеры соответственно.

Связь (1.3.6) переменных состояния объекта с измеряемыми переменными часто может быть линеаризована и тогда она с учетом помех измерения принимает вид

где -мерный вектор помех измерения; - заданная матрица размеров .

Устройство управления (регулятор) часто описывается не уравнениями , а линейными уравнениями вида

где матрицы размеров соответственно.

Часто регулятор содержит управляющую ЭВМ. В этом случае он описывается разностными уравнениями:

где T — интервал дискретности регулятора; матрицы чисел соответствующих размеров. Поскольку для работы регулятора достаточно измерения вектора у лишь в дискретные моменты времени и т. д., то естественно при определении параметров дискретного регулятора использовать дискретную модель объекта (1.3.9), (1.3.10). Такая модель при имеет вид

Матрицы нетрудно построить на основе матриц , если воспользоваться формулой Коши

(1.3.18)

где — нормированная фундаментальная матрица.

Эта матрица (размеров ) составлена из -мерных векторов (первый вектор — это решение однородного уравнения при начальных условиях ) второй вектор является решением однородного уравнения при начальных условиях и т. д.).

Произведение - это импульсная переходная матрица объекта. Ее можно получить экспериментально, прикладывая (в момент ) к входам объекта -импульсы.

Полагая в и принимая во внимание (1.3.15), получим

отсюда следует, что

В дискретном случае критерий качества имеет вид

где — заданные положительно-определенные матрицы чисел.

В стационарном случае, когда параметры объекта не изменяются во времени, его уравнения (1.3.9) записываются как

где — заданные матрицы чисел.

Дискретная модель объекта, описываемого уравнениями (1.3.22), имеет (при ) вид

где

Соотношения нетрудно доказать, если принять во внимание, что в стационарном случае можно указать явный вид нормированной фундаментальной .