Численное решение матричного алгебраического уравнения Риккати. Метод Репина — Третьякова.

Возвращаясь к матричному алгебраическому уравнению Риккати, разрешающему задачу АКОР для стационарных объектов, отметим, что численное решение нелинейных алгебраических уравнений является не менее трудной проблемой, чем решение краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Однако специфический характер уравнения (4.1.12) и его природа позволили разработать ряд эффективных численных методов его решения: Репина — Третьякова [4.5], Ньютона — Рафсона [4.20], [4.6], диагонализации [4.7].

Опишем первый из этих методов. В связи с этим положим, что верхний предел в функционале (4.1.3) конечен, и тогда функционал оптимизации имеет вид

Конечный верхний предел приводит к тому, что при функцию (4.1.7) следует искать в виде . При этом должно выполняться краевое условие (или ) . Тогда, повторяя изложенное в начале § 4.1, получим дифференциальное уравнение и краевое условие

Вводя, как и в нестационарном случае, и обозначая , запишем (4.1.31) как

Переходя к методу Репина — Третьякова, отметим, что он опирается на доказанное в работах [4.18], [4.5] соотношение

[так как изменяется в пределах от 0 до то (4.1.32) имеет смысл, если может принимать различные фиксированные значения, в частности .

Из предельного соотношения (4.1.32) следует, что для нахождения положительно-определенной матрицы , удовлетворяющей алгебраическому уравнению Риккати (4.1.12), достаточно решать систему дифференциальных уравнений (4.1.30) до тех пор, пока его решение не установится , не перестанут изменяться во времени ), и это установившееся решение и есть искомая матрица .

Пример 4.1.2. Численное решение задачи об аналитическом конструировании оптимального регулятора гирорамы. Пусть заданы значения параметров гирорамы (4.1.20) и функционала оптимизации (4.1.22):

Подставляя в правые части уравнений (4.1.23) вместо нулей соответствующие производные (так, в первом уравнении нужно подставить , во втором — , в третьем — и т. д.) и решая полученную систему из шести дифференциальных уравнений с помощью метода Рунге — Кутта, получим:

Искомые параметры регулятора вычисляются на основе чисел (4.1.34):