Понятие об оптимальном стабилизирующем управлении.

Решения уравнения (1.2.4) при начальных условиях из множества (1.2.2) описывают отклонения реального движения от программного в каждый момент времени.

Для количественной характеристики этих отклонений часто используют значение интеграла

в котором -положительные числа. Интеграл (1.2.6) представляет собой взвешенную с помощью коэффициентов сумму площадей, ограниченных квадратом отклонений истинного движения от программного по каждой переменной состояния. Он характеризует «расстояние» реального движения и программного и является «мерой» близости этих движений.

Используем для сближения этих движений, тогда называются стабилизирующими управлениями. Таким образом, результирующие управления состоят из программных и стабилизирующих управлений. Подставляя это выражение в (1.1.5), получим ограничения на стабилизирующее управление:

Обычно . Это объясняется тем, что программное управление обеспечивает основное (программное) движение системы, а стабилизирующее управление лишь «парирует» малые отклонения от программного движения, обеспечивая, если , устойчивость (отсюда термин «стабилизирующее управление») и требуемую точность осуществления программного движения. В связи с этим часто вместо ограничений (1.2.7), определяющих допустимый «расход» стабилизирующего управления в каждый момент времени, накладывают на стабилизирующие управления интегральные ограничения (ограничения на «энергию»)

Для учета ограничений (1.2.8) будем вместо (1.2.6) рассматривать критерии качества стабилизации

где числа определяются значениями .

Стабилизирующее управление предназначено для минимизации интеграла (1.2.9). Кроме того, если , то для существования этого интеграла стабилизирующее управление должно обеспечивать асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (1.2.4).

Если отыскивать стабилизирующее управление как явную функцию времени (по аналогии с программным управлением), то для каждого начального условия из множества (1.2.2) получим управления для реализации которых необходимо измерять переменные состояния в момент времени , так как числа неизвестны. Кроме того, функции будут различными для каждого набора из множества (1.2.2).

В связи с этим естественно отыскивать стабилизирующее управление не как явную функцию времени, а как функцию переменных состояния

Заметим, что вид этих функций не зависит от начальных условий из множества (1.2.2). Поясним это обстоятельство подробнее.

Допустим, что найдено управление при котором (1.2.9) принимает наименьшее значение на движениях системы (1.2.4), и пусть в начале движения оптимальной системы реализовались начальные условия . Подставляя в решим это уравнение и, подставляя его решения в (1.2.9), вычислим значение интеграла. Получим число . Оно является наименьшим из всех значений интеграла (1.2.9) при . Допустим теперь, что в начале движения системы (1.2.4) реализовались начальные условия тогда при получим другое значение (1.2.9), определяемое как . Это число опять должно быть наименьшим по сравнению со значениями интеграла на траекториях системы (1.2.4) при и начальных условиях .

Теперь можно определить понятие оптимального стабилизирующего управления как функции переменных состояния и времени, при которых на движениях системы (1.2.4), возбужденных произвольными начальными отклонениями из множества (1.2.2), показатель качества, например (1.2.9), принимает наименьшее . Если в (1.2.9) верхний предел не ограничен, то стабилизирующее управление должно также обеспечивать асимптотическую устойчивость системы.

Примечание 121 Стабилизирующее управление реализуется регулятором, который является сложным динамическим устройством, состоящим обычно из трех компонент измерительных органов, устройства реализации алгоритма управления (корректирующих контуров), исполнительных органов.

Здесь и далее известные дифференциальные уравнения, описывающие измерительные и исполнительные органы, включаются в уравнения (1.2 4) Другими словами, уравнения ( - это уравнения физического объекта вместе с измерительными и исполнительными устройствами регулятора.

Тогда - выходы, измерительных устройств, а - входы исполнительных органов.

Уравнения (1.2.10) описывают устройство реализации алгоритмов управления.

Для упрощения терминологии будем по-прежнему называть уравнениями объекта уравнения (1.2.4) известной (неизменяемой) части системы, состоящей из объекта и элементов регулятора, а уравнениями регулятора - (1.2.10) - называть неизвестную (подлежащую определению) часть системы, состоящую лишь из устройства реализации алгоритма управления.

Пример 1.2.1. Оптимальное стабилизирующее управление в системе «генератор — двигатель». Пусть в системе «генератор — двигатель» найдено оптимальное программное управление . Эти функции порождают программное движение , которое находится путем численного интегрирования уравнений (1.1.18), (1.1 19) на ЭВМ, используя какой-либо из методов численного интегрирования (например, метод Рунге — Кутта). При эгом в (1.1.18),(1,1,19) .

Реальные значения начальных значений положения вала двигателя, его скорости, токов в обмотках возбуждения отличаются от расчетных из-за погрешностей при «выставке» угла или скорости двигателя в начальный момент времени. Поэтому реальное движение будет отличаться от расчетного (программного). Переходя к уравнениям возмущенного движения, отметим, что по построению невозмущенное движение удовлетворяет уравнениям:

Так как возмущенное движение удовлетворяет уравнениям (1.1 18). (1.1.19), то

Учитывая уравнения невозмущенного движения, получим

(1.2.11)

В качестве показателя отклонения реального движения от расчетного примем интеграл

в котором -заданные положительные числа.

Оптимальное стабилизирующее управление должно минимизировать этот функционал на движениях системы (1.2.11) при начальных условиях

(1.2.13)

где определяется погрешностями реализации начальных состояний .

Физическая реализация стабилизирующих управлений осуществляется с помощью дополнительных обмоток возбуждения, показанных на рис. 1.1.2 пунктиром.

Во многих случаях контроль отклонений истинного движения от программного осуществляется не по переменным состояния, а по переменным, называемым регулируемыми (управляемыми) переменными. Они связаны с отклонениями по каждой переменной состояния соотношением

где — регулируемые переменные.

Критерий, с помощью которого оцениваются эти отклонения, имеет вид