Вариационные задачи на условный экстремум. Уравнения Эйлера — Лагранжа.

Вариационными задачи на условный экстремум (связанный экстремум) называются задачи, в которых требуется найти кривые, доставляющие экстремум функционалу, при этом помимо граничных условий они должны удовлетворять некоторым связям (условиям). Например, эти кривые должны иметь заданную длину (изопериметрическая задача) либо удовлетворять некоторой заданной системе дифференциальных уравнений (задача Лагранжа), либо лежать на некоторой поверхности.

Приведенная в первой главе задача об оптимальном программном движении является по математическому содержанию задачей на условный экстремум, в которой требуется найти вектор — функции , доставляющие функционалу (1.1.4) минимум, причем эти функции должны удовлетворять дифференциальному уравнению

а также интегральным связям (1.1.7) и ограничениям (1.1.5). Опустим пока эти связи и ограничения и для удобства изложения введем в функционал производные переменных состояния и управлений.

Итак, требуется найти экстремали функционала

удовлетворяющие граничным условиям

и являющиеся решением уравнений связей (2.1.23). Эта задача называется задачей Лагранжа. Отметим, что если в функционале (2.1.24) отсутствует производная какой-либо из компонент векторов или , то, естественно, что граничные условия для нее не задаются.

Переходя к решению, введем в рассмотрение новый функционал

в котором

где — -мерный вектор, компонентами которого являются пока неопределенные функции, называемые множителями Лагранжа. С помощью этих множителей задача об условном экстремуме функционала (2.1.24) сводится к задаче на безусловный экстремум функционала (2.1.27). Уравнения Эйлера для безусловных экстремалей функционала (2.1.27) имеют вид:

Уравнения (2.1.23), (2.1.29), (2.1.30) образуют систему из уравнений, которые называются уравнениями Эйлера — Лагранжа, для определения такого же числа неизвестных .

Если кривые доставляют безусловный экстремум функционалу (2.1.27), то на них достигается и условный экстремум функционала (2.1.24). Действительно, если на указанных кривых достигается безусловный экстремум функционала (2.1.27), то они удовлетворяют уравнениям Эйлера (2.1.23), (2.1.29), (2.1.30). Это означает [см. (2.1.28)], что на таких кривых значение функционала . И если они доставляют безусловный экстремум функционалу (2.1.27), то они будут доставлять экстремум и в более узком классе кривых, удовлетворяющих уравнениям связей (2.1.23).

Обратное утверждение о том, что функции , доставляющие условный экстремум функционалу (2.1.24) при наличии связей (2.1.23), будут являться безусловными экстремалями функционала (2.1.27), дает следующая теорема.

Теорема 2.1.1. Если функции доставляют экстремум функционалу (2.1.24), удовлетворяют уравнениям связи (2.1.23) и краевым условиям (2.1.25), (2.1.26), то существуют такие множители , что эти функции удовлетворяют уравнениям Эйлера (Эйлера — Лагранжа) для функционала (2.1.27).

Доказательство теоремы приведено в приложении 1.

К задачам на условный экстремум относится также изопериметрическая задача, которая формулируется так: среди всех кривых, удовлетворяющих граничным условиям (2.1.25), (2.1.26) и равенствам

где — заданные функции; заданные числа , требуется найти кривые m), на которых достигается экстремум функционала (2.1.24).

Изопериметрическая задача сводится путем введения вспомогательных множителей (здесь — некоторые числа, к задаче на безусловный экстремум функционала

Пример 2.1.5. Найдем экстремали функционала О

на связях

при граничных условиях

В соответствии с методом решения задачи на условный экстремум составим вспомогательный функционал

Уравнения Эйлера (Эйлера — Лагранжа) для безусловных экстремалей этого функционала имеют вид

Принимая во внимание, что , запишем эти уравнения соответственно в виде

Исключая переменную и, получим систему из двух уравнений

Дифференцируя первое уравнение с учетом второго, имеем

Исключая из этого уравнения переменную

получим окончательно уравнение для экстремали :

Решение этого уравнения имеет вид

где .

Используя граничные условия (2.1.33), получим постоянные .