Главная > Оптимальные и адаптивные системы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 1. ПОНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 1.1. Оптимальное программное управление

Рассмотрим объект управления, движение которого описывается уравнением

(1.1.1)

где -мерный вектор переменных состояния объекта, -мерный вектор управлений.

В развернутой форме имеет вид

где -заданные функции. Они предполагаются непрерывными и необходимое число раз дифференцируемыми по .

В уравнении (1.1.1) управления являются неизвестными функциями времени, которые определяются исходя из следующих условий.

1. Задано начальное

(1.1.2)

и конечное

(1.1.3)

состояния объекта (1.1.1), где — время начала, а — время окончания функционирования объекта.

2. Эффективность управления оценивается с помощью интеграла

где — заданная непрерывная функция своих аргументов. Для определенности далее будем полагать, что эффективность управления тем выше, чем меньше значение этого интеграла.

3. На управления и переменные состояния накладываются ограничения, выражающие ограниченные ресурсы управления и допустимые пределы изменения переменных состояния. Часто ограничения на управления имеют вид

где — заданные числа.

При точки вектора , координаты которого удовлетворяют этим неравенствам, заполняют заштрихованный прямоугольник, приведенный на рис. 1.1.1.

В общем случае будем считать, что в соответствии с конструкцией объекта и условиями его эксплуатации задано замкнутое множество U в пространстве переменных и управления могут принимать в каждый момент времени лишь значения из этого множества.

Замкнутость множества U означает, что управления могут находиться не только внутри, но и на его границе (например, ).

Далее будем называть оптимальным программным управлением функции времени , принимающие значения из множества , при которых объект (1.1.1) переводится из состояния (1.1.2) в состояние (1.1.3) и при этом функционал (1.1.4) принимает наименьшее значение.

Часто краевые условия имеют более общий, чем (1.1.2), (1.1.3), вид: а) моменты времени в (1 1.2), (1.1.3) либо один из них не заданы (тогда говорят о задаче с нефиксированным временем), б) вектор не задан (задана со свободным правым (или левым) концом траектории с фиксированным либо нефиксированным временем или 11); в) в (1.1.2), (1.1 3) компоненты m) векторов не заданы, а лежат на гиперповерхностях

(задача с подвижными концами).

Рис. 1.1.1.

Интеграл (1.1.4) также может иметь более сложную структуру:

где -заданная функция, и -известные числа.

Кроме того, на переменные состояния, как и на управления, могут накладываться ограничения

(1.1.6)

где X — замкнутое множество в пространстве состояний .

В ряде случаев на управления и переменные состояния накладываются интегральные ограничения, например, вида

(1.1.7)

Нетрудно расширить понятие оптимального программного управления в этих более общих случаях.

Пример 1.1.1. Система «двигатель-генератор». Рассмотрим силовую часть электрического привода типа «двигатель — генератор» (приведенную на рис. 1.1.2).

Рис. 1.1.2.

Запишем уравнения, описывающие процессы в отдельных элементах привода.

1. Уравнение моментов на валу двигателя

(1.1.8)

где А — момент инерции якоря двигателя и приводимого в движение рабочего механизма (Р. М.), — угол поворота вала двигателя, рад; — момент двигателя, , определяемый выражением — момент нагрузки, .

2. Уравнение якорной цепи

где электродвижущая сила генератора (В), связанная с током возбуждения (А) кривой намагничивания электродвижущая сила двигателя, связанная с током возбуждения двигателя: h (А) зависимостью , в которой С — коэффициент пропорциональности.

Подставляя эти зависимости в уравнение якорной цепи, получим

(1.1.9)

3. Уравнение цепей возбуждения генератора и двигателя имеют соответственно вид

(1.1.10)

где — напряжение, ток, сопротивление и индуктивность цепи возбуждения генератора и двигателя соответственно.

В зависимости от назначения рабочего механизма, связанного с валом двигателя, возникают различные режимы управления рабочим механизмом, который должен:

а) за минимальное время разогнаться до заданной скорости либо

б) совершить заданную работу за минимальное время, либо

в) переместиться из одного положения в другое за заданное время при минимальных потерях в цепях управления и якорной цепи.

Осуществление каждого из этих режимов управления затруднено целым рядом ограничений, к числу которых относятся следующие:

1. Перегрев якоря, определяемый потерями в якорной цепи, которые пропорциональны квадрату тока в этой цепи. Температура перегрева пропорциональна числу

и, следовательно, ограничение температуры перегрева описывается соотношением

где Т — заданное число, характеризующее допустимую температуру.

2. Напряжение, прикладываемое к обмотками возбуждения генератора и двигателя, ограничено напряжением источников питания — :

(1.1.12)

3. Максимальные значения скоростей и ускорений движения ограничены из условий прочности рабочего механизма либо комфорта, если, например, рабочим механизмом является лифт с людьми. Эти ограничения имеют вид

(1.1.13)

где и -заданные числа.

Время осуществления названных выше режимов управления выступает в рассматриваемом случае как мера эффективности управления. Эту меру можно описать с помощью интеграла

(1.1.14)

Действительно, из (1.1.14) следует .

Начальными и конечными состояниями системы «генератор — двигатель» являются положение, частота вращения вала двигателя, ток в обмотках возбуждения генератора и двигателя в начальный и конечный моменты времени.

Оптимальным программным управлением являются законы изменения напряжений , удовлетворяющих ограничениям (1 1 12), при которых система «генератор — двигатель» переходит из состояния (1.1.15) в состояние (1.1.16) и при этом функционал (1.1 14) принимает наименьшее значение и выполняются ограничения (1 1 13), (1.1.11)

Для режима , когда требуется переместить рабочий механизм из одного положения в другое за заданное время при минимальных потерях в цепях управления и якорной цепи, минимизируемый функционал имеет вид

и выражает энергию, выделяемую в этих цепях.

Для удобства последующего изложения запишем уравнения системы «генератор — двигатель» и ограничения в стандартной форме. В связи с этим введем обозначения

где — номинальные значения угла поворота двигателя (рад), частота его вращения (), токов в обмотках возбуждения (А) (для простоты полагаем, что числовые значения равны).

С учетом этих обозначений запишем уравнения (1.1.8), (1.1.9), (1.1.10) в безразмерной форме (полагая далее :

где

Ограничения примут вид:

где

Оптимальным программным управлением в рассматриваемом случае будут (например, для режима ) функции , такие, что рабочий механизм за минимальное время при выполнении ограничений (1,1.11) - (1.1.13) переместится из состояния в состояние , где

1
Оглавление
email@scask.ru