Глава 1. ПОНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 1.1. Оптимальное программное управление

Рассмотрим объект управления, движение которого описывается уравнением

(1.1.1)

где -мерный вектор переменных состояния объекта, -мерный вектор управлений.

В развернутой форме имеет вид

где -заданные функции. Они предполагаются непрерывными и необходимое число раз дифференцируемыми по .

В уравнении (1.1.1) управления являются неизвестными функциями времени, которые определяются исходя из следующих условий.

1. Задано начальное

(1.1.2)

и конечное

(1.1.3)

состояния объекта (1.1.1), где — время начала, а — время окончания функционирования объекта.

2. Эффективность управления оценивается с помощью интеграла

где — заданная непрерывная функция своих аргументов. Для определенности далее будем полагать, что эффективность управления тем выше, чем меньше значение этого интеграла.

3. На управления и переменные состояния накладываются ограничения, выражающие ограниченные ресурсы управления и допустимые пределы изменения переменных состояния. Часто ограничения на управления имеют вид

где — заданные числа.

При точки вектора , координаты которого удовлетворяют этим неравенствам, заполняют заштрихованный прямоугольник, приведенный на рис. 1.1.1.

В общем случае будем считать, что в соответствии с конструкцией объекта и условиями его эксплуатации задано замкнутое множество U в пространстве переменных и управления могут принимать в каждый момент времени лишь значения из этого множества.

Замкнутость множества U означает, что управления могут находиться не только внутри, но и на его границе (например, ).

Далее будем называть оптимальным программным управлением функции времени , принимающие значения из множества , при которых объект (1.1.1) переводится из состояния (1.1.2) в состояние (1.1.3) и при этом функционал (1.1.4) принимает наименьшее значение.

Часто краевые условия имеют более общий, чем (1.1.2), (1.1.3), вид: а) моменты времени в (1 1.2), (1.1.3) либо один из них не заданы (тогда говорят о задаче с нефиксированным временем), б) вектор не задан (задана со свободным правым (или левым) концом траектории с фиксированным либо нефиксированным временем или 11); в) в (1.1.2), (1.1 3) компоненты m) векторов не заданы, а лежат на гиперповерхностях

(задача с подвижными концами).

Рис. 1.1.1.

Интеграл (1.1.4) также может иметь более сложную структуру:

где -заданная функция, и -известные числа.

Кроме того, на переменные состояния, как и на управления, могут накладываться ограничения

(1.1.6)

где X — замкнутое множество в пространстве состояний .

В ряде случаев на управления и переменные состояния накладываются интегральные ограничения, например, вида

(1.1.7)

Нетрудно расширить понятие оптимального программного управления в этих более общих случаях.

Пример 1.1.1. Система «двигатель-генератор». Рассмотрим силовую часть электрического привода типа «двигатель — генератор» (приведенную на рис. 1.1.2).

Рис. 1.1.2.

Запишем уравнения, описывающие процессы в отдельных элементах привода.

1. Уравнение моментов на валу двигателя

(1.1.8)

где А — момент инерции якоря двигателя и приводимого в движение рабочего механизма (Р. М.), — угол поворота вала двигателя, рад; — момент двигателя, , определяемый выражением — момент нагрузки, .

2. Уравнение якорной цепи

где — электродвижущая сила генератора (В), связанная с током возбуждения (А) кривой намагничивания электродвижущая сила двигателя, связанная с током возбуждения двигателя: h (А) зависимостью , в которой С — коэффициент пропорциональности.

Подставляя эти зависимости в уравнение якорной цепи, получим

(1.1.9)

3. Уравнение цепей возбуждения генератора и двигателя имеют соответственно вид

(1.1.10)

где — напряжение, ток, сопротивление и индуктивность цепи возбуждения генератора и двигателя соответственно.

В зависимости от назначения рабочего механизма, связанного с валом двигателя, возникают различные режимы управления рабочим механизмом, который должен:

а) за минимальное время разогнаться до заданной скорости либо

б) совершить заданную работу за минимальное время, либо

в) переместиться из одного положения в другое за заданное время при минимальных потерях в цепях управления и якорной цепи.

Осуществление каждого из этих режимов управления затруднено целым рядом ограничений, к числу которых относятся следующие:

1. Перегрев якоря, определяемый потерями в якорной цепи, которые пропорциональны квадрату тока в этой цепи. Температура перегрева пропорциональна числу

и, следовательно, ограничение температуры перегрева описывается соотношением

где Т — заданное число, характеризующее допустимую температуру.

2. Напряжение, прикладываемое к обмотками возбуждения генератора и двигателя, ограничено напряжением источников питания — :

(1.1.12)

3. Максимальные значения скоростей и ускорений движения ограничены из условий прочности рабочего механизма либо комфорта, если, например, рабочим механизмом является лифт с людьми. Эти ограничения имеют вид

(1.1.13)

где и -заданные числа.

Время осуществления названных выше режимов управления выступает в рассматриваемом случае как мера эффективности управления. Эту меру можно описать с помощью интеграла

(1.1.14)

Действительно, из (1.1.14) следует .

Начальными и конечными состояниями системы «генератор — двигатель» являются положение, частота вращения вала двигателя, ток в обмотках возбуждения генератора и двигателя в начальный и конечный моменты времени.

Оптимальным программным управлением являются законы изменения напряжений , удовлетворяющих ограничениям (1 1 12), при которых система «генератор — двигатель» переходит из состояния (1.1.15) в состояние (1.1.16) и при этом функционал (1.1 14) принимает наименьшее значение и выполняются ограничения (1 1 13), (1.1.11)

Для режима , когда требуется переместить рабочий механизм из одного положения в другое за заданное время при минимальных потерях в цепях управления и якорной цепи, минимизируемый функционал имеет вид

и выражает энергию, выделяемую в этих цепях.

Для удобства последующего изложения запишем уравнения системы «генератор — двигатель» и ограничения в стандартной форме. В связи с этим введем обозначения

где — номинальные значения угла поворота двигателя (рад), частота его вращения (), токов в обмотках возбуждения (А) (для простоты полагаем, что числовые значения равны).

С учетом этих обозначений запишем уравнения (1.1.8), (1.1.9), (1.1.10) в безразмерной форме (полагая далее :

где

Ограничения примут вид:

где

Оптимальным программным управлением в рассматриваемом случае будут (например, для режима ) функции , такие, что рабочий механизм за минимальное время при выполнении ограничений (1,1.11) - (1.1.13) переместится из состояния в состояние , где