Вариационные задачи с подвижными границами.
До сих пор при исследовании функционала (2.1.1) предполагалось, что граничные точки 
заданы. Теперь будем полагать, что одна или обе граничные точки могут перемещаться. Класс допустимых кривых в этом случае расширяется, так как кроме кривых сравнения, имеющих общие граничные точки с исследуемой кривой, можно брать кривые со смещенными граничными точками. Это означает, что если на какой-нибудь кривой 
функционал (2.1.1) достигает экстремума в задаче с подвижными точками, то экстремум тем более достигается по отношению к более узкому классу кривых, имеющих общие граничные точки с кривой 
и, следовательно, 
должна быть решением уравнения Эйлера (2.1.10).
Общее решение уравнения Эйлера содержит две произвольные постоянные, которые находятся при закрепленных границах из граничных условий, а при подвижных границах — из условий трансверсальности.
Эти условия имеют вид
(2.1.19)
Если правая граничная точка 
должна перемещаться по некоторой кривой 
, то условия (2.1.20) принимают вид
Аналогичный вид принимают условия (2.1.19), если левая граничная точка 
перемещается по кривой 
. Соотношения (2.1.19), (2.1.20) представляют собой четыре уравнения для определения четырех неизвестных: 
и произвольных постоянных 
, входящих в общее решение уравнения Эйлера. Часто числа 
заданы, т. е. точки 
могут перемещаться только вертикально, и тогда условия (2.1.19), (2.1.20) принимают вид
Вывод соотношений 
приведен в [2.2].
Пример 2.1.3. Найдем экстремаль функционала (2 1 12) при заданных 
и произвольных 
. Используя (2 1.21), получим
Подставляя в эти равенства решения (2.1.14), имеем
Откуда следует, что 
и таким образом, экстремалью функционала (2.1.12) с подвижными границами является 
Если предположить теперь, что наряду с 
нефиксированы и числа 
то, используя (2.1.19), (2.1 20), получим
Из этих равенств следует, что 
независимо от 
и поэтому из (2.1.15) получим вновь 
. Таким образом, и в этом случае экстремалью является 
