Аналитическое конструирование дискретных (цифровых) регуляторов.

Пусть задан объект управления, описываемый разностными уравнениями

где и — заданные матрицы чисел размеров соответственно.

Качество переходных процессов для этого объекта оценивается суммой

где Q — заданная положительно-определенная матрица. Требуется найти матрицы управления

(4.1.68)

при котором функционал (4.1.67) принимает наименьшее значение при любых .

Аналитическое конструирование регуляторов для дискретных объектов состоит [4.11] из операций:

1) вычисления матриц на основе рекуррентного соотношения

2) нахождения

3) определения матрицы коэффициентов усиления регулятора

Вывод соотношений для общего случая нестационарного дискретного объекта приведен в приложении 5.

Докажем эти соотношения при . В этом случае объект (4.1.66) и функционал (4.1.67) принимают вид

Для нахождения оптимального управления

применим принцип оптимальности, рассмотренный в § 2.3. В соответствии с этим принципом независимо от того, как двигалась система до последнего шага (интервала ), управление на последнем шаге должно быть оптимальным (относительно состояния, возникшего в результате первых шагов).

Частичная сумма, которую необходимо минимизировать на последнем шаге, имеет вид

Используя необходимое условие экстремума этой суммы

получим оптимальное управление на последнем участке

При оптимальном управлении

где

Переходя к нахождению управления на предпоследнем шаге (интервале ), запишем частичную сумму, которую должно минимизировать это управление:

Используя необходимое условие минимума получим оптимальное управление на предпоследнем участке

При этом управлении частичная сумма (4.1.81) примет значение

где

Продолжая этот процесс, дойдем до (от конца) участка (интервала ). Частичная сумма, которую нужно минимизировать управлением , имеет вид

Оптимальное управление

где

Значение частичной суммы (4.1.85) при этом управлении

где

(4.1.89)

Полагая в (4.1.71), (4.1.69) , убеждаемся, что они совпадают с (4.1.87), (4.1.89) соответственно. Если в функционале (4.1.67) верхний предел , то оптимальное управление (4.1.68) принимает вид

где С — матрица чисел, определяемая из условия

Пример 4.1.3. Аналитическое конструирование дискретного (цифрового) регулятора гирорамы. Пусть требуется найти цифровой регулятор

при котором на движениях гирорамы, описываемой уравнениями (4.1.20) (при ), минимизируется функционал

Переходя к численному решению этой задачи, сформируем вначале дискретную модель гирорамы. Для этого воспользуемся формулами (1.4.23), (1.4.24), с помощью которых вычислим матрицу и вектор R. При значениях параметров гирорамы получим при Т=0,015

Используя эти матрицы, а также значения параметров функционала (4 1.93), , получим на основе (4.1.69.), (4.1.71), (4.1.91) искомые числа: