Построение алгоритма адаптации при отсутствии внешних возмущений.
В соответствии со вторым и третьим этапами синтеза адаптивного регулятора выберем прямой алгоритм адаптивного управления, для построения которого используем градиентный метод. Рассмотрим вначале случай отсутствия внешних возмущений
(10.2.24)
В этом случае цель управления принимает вид
(10.2.25)
В соответствии с методом градиента направление движения в пространстве настраиваемых параметров 
пропорционально производным функции
(10.2.26)
по настраиваемым параметрам. Это означает, что
(10.2.27)
Учитывая (10.2.22), нетрудно видеть, что
и, таким образом, искомый алгоритм имеет вид
(10.2.28)
Переходя к последнему (четвертому) этапу синтеза адаптивного регулятора, состоящему в определении параметра 
алгоритма (10.2.28), введем обозначение
(10.2.29)
Тогда (10.2 28) примет вид
Утверждение 10.2.1. Параметр 
алгоритма адаптации (10.2.30), при котором адаптивный регулятор (10.2.23), (10.2.30) обеспечивает достижение объектом (10.2.1) при 
цели управления (10.2.25), определяется выражением
(10.2.31)
Для доказательства этого утверждения возьмем функцию Ляпунова
(10.2.32)
которая выражает «расстояние» настраиваемых параметров регулятора (10.2.23) от параметров идеального закона регулирования (10.2.18).
Найдем условия убывания величины 
вдоль траектории движения адаптивной системы (10.2.22), (10.2.23), (10.2.30). Для этого рассмотрим разность
Учитывая (10.2.30) и (10.2.26), запишем при 
, что
(10.2.34)
Подставляя это выражение в (10.2.33), получим
Нетрудно видеть, что 
, если
(10.2.36)
Для того чтобы обеспечить строгое убывание 
, достаточно взять
(10.2.37)
где
(10.2.38)
При таком значении 
получим
где 
— некоторое положительное число.
(10.2.40)
то это означает, что 
, и, следовательно, достигается цель адаптации 
, если только величины 
будут оставаться ограниченными. Ограниченность измеряемого вектора 
, состоящего из значений выхода и входа объекта в различные моменты времени, не является очевидной. Например, если рассматриваемая система неустойчива при начальных значениях параметров регулятора, то на первых шагах процесса адаптации переменные объекта будут расти.
Это повлечет за собой затормаживание настройки и, возможно, нарушение сходимости 
. Однако известно [6.5], что если объект является минимально-фазовым, то 
ограничена и, таким образом, утверждение 10.2.1 доказано.
