Приложение 5. Аналитическое конструирование регуляторов дискретных систем

Пусть объект регулирования описывается уравнением

Требуется определить матрицу коэффициентов регулятора

такую, чтобы на движениях системы , возбужденных произвольными начальными условиями, минимизировался функционал

Здесь — заданные матрицы размеров соответственно; - неотрицательная определенная известная матрица размеров .

Для решения этой задачи применим принцип оптимальности. Управление будем определять, начиная с последнего интервала времени . На этом интервале с учетом имеем частичную сумму

Опуская аргументы, запишем ее наименьшее значение

Положим равным нулю градиент по и от выражения в квадратных скобках:

Разрешая это уравнение, получим оптимальное управление на последнем участке

Таким образом,

где

Подставляя , получим минимальное значение суммы :

где

Таким образом, минимальное значение является квадратичной формой .

Оптимальное управление на предпоследнем шаге определяется на основе соотношения , которое принимает в рассматриваемом случае вид

Приравнивая нулю градиент последнего выражения в фигурных скобках, получаем

где С

Отметим, что последнее равенство в совпадает с точностью до замены Q на с выражением в правой части , поэтому совпадает с , если в последнем заменить Q на на .

Подставляя , получаем минимальное значение частичной суммы на последних двух интервалах управления

где

Продолжая этот процесс, определим управление на интервале из условия минимума правой части соотношения принципа оптимальности

которое можно представить как

Приравнивая нулю градиент по и последнего равенства в фигурных скобках, получим

где

Подставляя , получим

где

Выражения справедливы для всех и, таким образом, выражения являются рекуррентными соотношениями для последовательного вычисления искомой матрицы