§ 3.2. Синтез оптимальных по быстродействию систем
Качественная сущность проблемы синтеза.
Продолжая построение оптимального управления для линейных объектов (3.1.12), будем искать это управление как функцию переменных состояния (фазовых переменных). Для простоты будем полагать управление скалярным
ограничение на управление — единичным
. Кроме того, не теряя общности рассмотрения, будем считать, что в конечный момент времени фазовая траектория (изображающая точка) должна попасть в начало координат
. Движение объекта (3.1.12) при управлении (3.1.17) описывается уравнениями
Траектории, соответствующие решениям этих уравнений, обозначим 
соответственно.
Поскольку оптимальное управление приводит объект в начало координат, то всегда существует такое состояние системы, что кривые 
проходят через начало координат (рис. 3.2.1). Части 
этих кривых (полутраектории), приводящие изображающую точку в начало координат, объединим и обозначим 
. Очевидно, что изображающая точка попадет в начало координат обязательно по линии 
. Это происходит на последнем интервале оптимального процесса.
Рис. 3.2.1.
В течение оптимального процесса знаки управляющего воздействия чередуются, поэтому концы фазовых траекторий предпоследнего интервала принадлежат кривой 
.
Фазовые траектории, соответствующие предпоследнему интервалу и заканчивающиеся на кривых 
, обозначим 
при этом кривые 
заканчиваются на кривой 
— на 
. Совокупность этих кривых при различных начальных условиях образуют две поверхности, каждая из которых имеет своим краем кривую 
. Обе поверхности стыкуются по линии 
и образуют поверхность 
, двигаясь по которой изображающая точка попадает на линию 
и по ней в начало координат.
Продолжая это построение, получим поверхности 
. Если характеристический полином объекта имеет действительные корни, то процесс синтеза состоит в отыскании поверхности 
, при этом оптимальный процесс протекает в течение 
интервалов (имеет 
переключение). Если начальная точка 
в области 
, то в конце первого интервала фазовая траектория попадает на поверхность где происходит переключение управляющего воздействия. Далее изображающая точка оказывается на поверхности 
и т. д. К сожалению, эти поверхности описываются трансцендентными уравнениями [3.6], и поэтому задача синтеза (построение поверхности переключения 
) решается в замкнутой форме лишь для систем второго и третьего порядка. Для систем более высокого порядка ограничиваются частными решениями либо синтезируют управление, близкое к оптимальному.
