Главная > Оптимальные и адаптивные системы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Связь метода динамического программирования и принципа максимума.

Для установления связи [2.21] метода динамического программирования с принципом максимума запишем функциональное уравнение (2.3.7) в несколько иной форме. В связи с этим введем новую переменную . Очевидно, что

С учетом этого соотношения, а также очевидного равенства

Принцип максимума для задачи о минимуме функционала (2.3.3) на связях (2.3.1) доставляет (при ) условие

в котором является решением уравнения

Сравнивая (2.3.25) и (2.3.26), нетрудно заметить их идентичность, если доказать, что вдоль оптимальных траекторий выполняется равенство

Переходя к доказательству этого равенства, вычислим

С другой стороны, дифференцируя (2.3.25) по , получим вдоль оптимальных траекторий

Используя (2.3.29), запишем это равенство в виде

Сравнивая это выражение с сопряженными уравнениями (2.2.8), заключаем, что функции времени удовлетворяют одинаковым дифференциальным уравнениям и, следовательно, эти функции совпадают при одинаковых начальных (краевых) условиях в этих уравнениях.

Заметим, что при выводе (2.3.31) использовалось соотношение (2.3.30), которое нуждается в обосновании. Дело в том, что равенство выражения в фигурных скобках (2.3.25) нулю не означает равенства нулю ее производной, а это молчаливо предполагалось при выводе (2.3.30).

В связи с этим рассмотрим фиксированный момент времени . Для этого момента оптимальное управление является вектором чисел. Для точек фазового пространства, не лежащих на оптимальной траектории, уже не будет оптимальным и, следовательно, для этих точек функция в фигурных скобках выражения (2.3.25) не будет достигать максимума. Отсюда следует, что эта функция достигает максимума, равного нулю, лишь в точках, лежащих на оптимальной траектории, и, следовательно, частные производные рассматриваемой функции по в силу необходимых условий экстремума (по ) обращаются в нуль. Таким образом, связь между методом динамического программирования и принципом максимума установлена.

Укажем в заключение на различие этих методов. Оно вызвано тем, что функциональное уравнение (2.3.25) содержит частные производные , которые могут не существовать.

Это обстоятельство можно было бы считать не особенно существенным, если бы после решения функционального уравнения оказалось, что функция дифференцируема по . В действительности же для многих практически важных задач функция не является дифференцируемой по , и поэтому возникла необходимость дальнейших исследований, связанных с этим методом.

Дальнейшее развитие метода динамического программирования и его приложения в практике.

В 1962 г. В. Ф. Кротов предложил [2.22] простые достаточные условия оптимальности, которые охватили как частный случай функциональные уравнения метода динамического программирования. Эти условия нашли широкое применение для решения практических задач [2.23, 2.24]. С использованием этих условий были начаты исследования функционального уравнения метода динамического программирования. Были указаны дополнительные условия, накладываемые на это уравнение, при которых оно приводит к синтезу оптимального управления [2.25, 2.26].

Сразу же после появления метода динамического программирования началось его широкое практическое применение для построения управления запуском ракет и спутников, химическими процессами, реактором и другими объектами. Эти применения упомянуты в книгах освещающих различные аспекты метода динамического программирования.

1
Оглавление
email@scask.ru