Синтез оптимальных регуляторов систем второго порядка.

Пусть имеется объект управления, описываемый уравнением

где .

Требуется синтезировать управление , обеспечивающее наискорейшее приведение объекта из произвольного начального состояния в состояние покоя:

Вводя обозначения уравнение (3.2.3) в виде

Функция и сопряженная система имеют в рассматриваемом случае вид

Максимум функции достигается при

Решая систему (3.2.8), получаем

Функция изменяет знак не более одного раза и это происходит в момент времени

Для решения задачи синтеза оптимального управления построим фазовые траектории системы (3.2.5), (3.2.6) и найдем поверхность переключений. Исключая время t из уравнений (3.2.5), (3.2.6), поделим первое из них на второе:

Интегрируя это уравнение при , получим семейство парабол

или

Эти параболы, соответствующие значениям , равным приведены на рис. 3.2.2, 3.2.3.

Рис. 3.2.2.

Рис. 3.2.3.

Стрелки на параболах означают направление движения при росте t. Проверим указанные, например, на рис. 3.2.2 направления. Пусть , тогда из (3.2.6) получим

Нетрудно видеть, что увеличивается с ростом t, а на основе (3.2.5) заключаем, что увеличивается со временем для тех значений t, при которых .

При параболы описываются уравнениями

и проходят через начало координат.

Куски этих парабол, приводящие фазовую траекторию в начало координат, образуют линию переключения, приведенную на рис. 3.2.4.

Рис. 3.2.4.

Таким образом, на последнем интервале оптимального процесса изображащая точка попадает в начало координат по кривой или . Линия делит фазовую плоскость на две области и , расположенные над линией и под ней соответственно.

Если в начальный момент времени изображающая точка находится в области , например в точке , то следует принять тогда фазовая траектория будет двигаться по дуге параболы (3.2.14), проходящей через точку . В момент времени, когда изображающая точка попадает в точку необходимо изменить управление на . Дальнейшее движение будет происходить по дуге . Кривая является оптимальной траекторией, соответствующей начальному состоянию .

Аналогично, если в начальный момент времени изображающая точка находилась в области , например в точке , необходимо принять . Изображающая точка будет двигаться по дуге параболы (3.2.13) и в точке произойдет переключение управления на .

На основе (3.2.16) получаем уравнение кривой

(3.2.17)

В соответствии с этим уравнением оптимальная функция управления может быть представлена выражением

где

Чтобы убедиться в его справедливости, покажем, что в области имеет место соотношение . Пусть изображающая точка расположена справа от линии переключения и выше оси . Ее движение происходит по траектории (3.2.14). Определим значение с. В связи с этим представим результат интегрирования уравнения (3.2.11) при в виде

и, следовательно, .

Подставляя выражение (3.2.14) в (3.2.19), получим

Если изображающая точка расположена между осью и кривой , то и подстановка (3.2.14) в (3.2.19) дает

Действительно, для ординат точки справедливо соотношение , которое получится, если в (3.2.20) подставить первое из выражений (3.2.16). При выполнении равенства изображающая точка попадает на линию переключения, для которой . До попадания на линию переключения и поэтому .

Схема реализации оптимального закона управления (3.2.18) приведена на рис. 3.2.5.

Рис. 3.2.5.

В управляющей части системы используется нелинейный преобразователь (НП), формирующий функцию

Опишем теперь решение задачи синтеза оптимального по быстродействию управления для объекта:

Для построения фазовых траекторий поделим первое уравнение на второе:

Разделяя переменные, найдем решение этого уравнения при :

Полагая в этом выражении , определим линии :

Нетрудно показать, используя эти выражения, что уравнение линии переключения имеет вид , а оптимальное управление

где

Практически вопросы синтеза оптимальных по быстродействию регуляторов для линейных, а также нелинейных объектов более высокого порядка рассмотрены в работах .