§ 5.2. Синтез стохастических систем при неполной информации о векторе переменных состояния.
Оптимальное наблюдение (оптимальная фильтрация)
Структура оптимального регулятора. Пусть не все переменные состояния объекта (5.1.1) доступны непосредственному измерению и пусть, кроме того, измерения осуществляются с помехами. Тогда объект управления описывается уравнениями
(5.2.1)
где, как и ранее, 
-мерный вектор внешних возмущений, являющийся гауссовским случайным процессом типа «белый шум» с нулевым математическим ожиданием и заданной ковариационной матрицей 
; 
- заданные матрицы; 
- 
-мерный вектор измеряемых переменных; 
- это 
-мерный вектор помех (шумов), также являющийся случайным процессом типа «белый шум» с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей
(5.2.3)
где 
- заданная положительно-определенная матрица размеров 
.
Далее предполагается, что внешние возмущения и помехи измерений независимы (не коррелированы).
Наконец, обозначим
(5.2.4)
и будем полагать, что начальные условия не зависят от возмущений и помех, а вектор 
и матрица 
размеров 
известны.
Требуется найти управление 
, зависящее от измеряемого вектора 
, такое, чтобы критерий
(5.2.5)
где 
— заданные положительно-определенные матрицы, принимал наименьшее значение.
Регулятор, формирующий искомое управление, состоит (как и в детерминированном случае, рассмотренном в предыдущей главе) из двух частей: устройства, реализующего оптимальный закон (5.1.6), в котором вместо неизвестного вектора переменных состояния 
подставляется его оценка 
, вырабатываемая во втором устройстве — наблюдателе.
Как и в детерминированном случае, наблюдатель описывается уравнением
(5.2.6)
в котором матрица 
определяется из условия минимума функционала
(5.2.7)
(где 
) — заданная положительно-определенная матрица) ошибки 
восстановления (наблюдения, фильтрации).
При таком определении матрицы 
уравнение (5.2.6) описывает оптимальный наблюдатель (оптимальный фильтр).
Таким образом, цель последующего состоит в нахождении матрицы 
из условия минимума (5.2.7) и в доказательстве принципа разделения, который является основанием для представления регулятора из двул частей.
Отметим, что уравнение устройства восстановления (5.2.6) было построено в предыдущей главе исходя из эвристических соображений. В действительности же оно впервые было получено в работе [5.6] Р. Калмана и Бьюси, которая явилась дальнейшим развитием результатов А. Н. Колмогорова и Н. Винера [5.4, 5.5] по оптимальной фильтрации.
