Приложение 8. Вывод алгоритма настройки параметров регулятора

Опишем вначале объект управления с адаптивным регулятором. Не теряя общности изложения, запишем уравнение объекта, имеющего передаточную функцию (8.4.2), в виде

где

Всегда существует матрица преобразования уравнения (8.4.1) к виду , поскольку объект (8.4.1) полностью управляем и наблюдаем. Теперь объединим уравнения (8.4.13):

Полагая

где — некоторый постоянный вектор, запишем (П.8.3.) и как

где

Если , то может быть использовано для описания эталонной модели. Действительно, пусть — вектор состояния неминимального представления модели,

Естественно, что, поскольку матрица А и вектор b неизвестны, эталонная модель не может быть реализована в виде , однако для последующего изложения достаточно установленного ранее факта существования вектора , при котором передаточная функция, связывающая переменные уравнений , совпадает с .

Вычитая из уравнение , получим уравнения

где

Переходя непосредственно к доказательству утверждения 8.4.1, найдем вектор , при котором выполняется целевое условие . Для этого используем функцию Ляпунова

где — положительно-определенная матрица размеров , являющаяся решением матричного уравнения Ляпунова

в котором Q — некоторая положительно-определенная матрица. Полная производная функции в силу уравнения имеет вид

Если существует матрица Q, такая, что решение уравнения удовлетворяет условию

то, полагая

получим, что

Для доказательства существования такой матрицы Q используем лемму [6.5], в соответствии с которой искомая матрица существует, если передаточная функция

является строго пассивной.

Поскольку - строго пассивна по построению, то из неравенств следует, что . Неравенство выполняется, если определено уравнением , которое при учете совпадает с алгоритмом настройки (8.4.19).