§ 9.2. Метод наименьших квадратов
Некоторые понятия теории временных рядов. Запишем уравнения объекта (9.1.1), (9.1.2), полагая для простоты 
, в форме «вход — выход»:
(9.2.1)
Уравнение (9.2.1) может быть аппроксимировано с помощью конечных разностей, когда
Используя оператор сдвига (задержки) 
, можно записать
В результате аппроксимации уравнение (9.2.1) принимает вид разностного уравнения:
(9.2.4)
Легко получить соотношение между параметрами 
. Опуская далее параметр Т (полагая для простоты 
получим на основе (9.2.4)
(9.2.5)
Существует еще одна форма аппроксимации асимптотически устойчивых процессов, описываемых уравнением (9.2.1). Она следует из интеграла свертки (9.1.8), если положить 
при 
. В этом случае (9.1.8) примет вид
(9.2.6)
где 
— значение импульсной переходной функции в момент времени 
.
Очевидно, что связь между формулами (9.2.5), (9.2.6) определяется соотношением
(9.2.7)
Процедура определения правой части этого равенства по левой части называется операцией длинного деления.
Для асимптотически устойчивых процессов 
при 
, поэтому можно ограничиться конечным числом 
слагаемых в (9.2.6).
Тогда
(9.2.8)
Это выражение является временным рядом, позволяющим найти у в момент времени k по значениям f в q моментов времени, предшествующих моменту 
.
Модель (9.2.8) называется моделью со скользящим средним (СС-модель). Термин «скользящее среднее» появился в связи с тем, что выражение (9.2.8) по существу является оператором усреднения 
значения f (правда, при этом не выполняется ни условие 
, ни условие 
для всех 
.
Пусть в 
тогда
(9.2.9)
Это также временной ряд, определяющий значение у в момент времени k на основе значений 
в моменты, предшествовавшие 
и значению 
.
Выражение (9.2.9) называется авторегрессионной моделью (АР-модель). Этот термин вызван тем, что (9.2.9) регрессирует 
на прошлые значения 
. И наконец, модель (9.2.4), которую можно записать как
(9.2.10)
называется авторегрессионной моделью со скользящим средним (АРСС-модель).
Пусть параметры моделей (9.2.9), (9.2.10) неизвестны, тогда используя для обозначения неизвестных параметров вектор 
запишем эти модели в виде
(9.2.11)
Требуется по известным (в результате измерений) значениям 
найти вектор параметров 
. После определения этого вектора нетрудно вычислить искомые параметры 
исходного уравнения (9.2.1).
