Понятия вариационного исчисления.

Переменная величина называется функционалом, зависящим от функции , если каждой функции (из некоторого класса функций) соответствует число J. Аналогично определяются функционалы, зависящие от нескольких функций.

Функционал достигает на минимума, если его значение на любой близкой к кривой не меньше, чем , т. е.

Аналогично определяется кривая, на которой реализуется максимум. В этом случае для всех кривых, близких к кривой

Уточним понятие близости кривых. Кривые близки в смысле близости нулевого порядка, если модуль разности мал. Кривые близки в смысле близости порядка, если модули разностей малы. Кривые близки в смысле близости порядка, если производная, е — достаточно малое число. На рис. 2.1.2 изображены кривые, близкие в смысле близости нулевого порядка (координаты их близки, а направления касательных существенно различаются), а на рис. 2.1.3 приведены кривые, близкие в смысле близости порядка.

Если функционал достигает на кривой минимума или максимума по отношению ко всем кривым, близким к в смысле близости нулевого порядка, то такой минимум (или максимум) называется сильным.

Рис. 2.1.1.

Рис. 2.1.2.

Если функционал достигает минимума (или максимума) лишь по отношению к кривым , близким к в смысле близости порядка, то такой минимум (или максимум) называется слабым. Очевидно, что если достигается сильный минимум (максимум), то достигается и слабый. Далее, если не оговорено противное, будет подразумеваться слабый минимум (максимум).

Разность функций называется вариацией (приращением) аргумента функционала .