§ 8.2. Адаптивные наблюдатели

Неминимальная реализация неизвестного объекта. Рассмотрим полностью наблюдаемый объект управления, описываемый уравнениями

(8.2.1)

где — -мерный вектор неизмеряемых переменных состояния объекта; — измеряемая переменная; — неизвестные -мерные вектора чисел

(8.2.3)

— заданные положительные числа.

Уравнения (8.2.1), (8.2.2) являются одной из канонических форм уравнений (8.1.1), (8.1.2). Это означает, что произвольную систему (8.1.1), (8.1.2) можно привести к виду (8.2.1), (8.2.2). Действительно, передаточная функция системы (8.1.1), (8.1.2) имеет вид (8.1.6). Она эквивалентна передаточной функции (8.1.24). Передаточная функция системы (8.2.1), (8.2.2) также имеет вид (8.1.24). Убедимся в этом на примере.

Пример 8.2.1. Запишем (8.2.1), (8.2.2) для случая :

(8.2.4)

Из последних двух уравнений системы (8.2.4) получим

Подставляя эти выражения в первое уравнение рассматриваемой системы, имеем выражение

передаточная функция которого имеет вид (8.1.33).

Ниже будет рассмотрен также более общий случай, когда в (8.2.1) — недиагональная матрица, а — произвольный вектор. Возвращаясь к рассмотрению (8.2.1), (8.2.2), отметим, что, поскольку переменная состояния -измеряема, систему (8.2.1), (8.2.2) можно представить в форме

где — -мерный вектор, составленный из неизмеряемых компонент вектора .

Уравнение (8.2.5) можно записать как

(8.2.7)

Отсюда заключаем, что

(8.2.9)

На рис. 8.2.1 приведена блок-схема объекта, описываемого выражением (8.2.9). В соответствии с формулой Коши решение (8.2.8) имеет вид

(8.2.10)

Рис. 8.2.1.

Подставляя это выражение в (8.2.7), получим

(8.2.11)

С другой стороны, структурную схему, приведенную на рис. 8.2.1, можно представить в виде эквивалентной блок-схемы рис. 8.2.2. Вводя в рассмотрение векторы z, v переменных состояния с компонентами соответственно и полагая начальные условия , получим

(8.2.12)

и, следовательно,

(8.2.13)

Сравнивая (8.2.13), (8.2.11), замечаем, что они отличаются лишь членом , и поэтому для полной эквивалентности блок-схем, приведенных на рис. 8.2.1 и рис. 8.2.2, необходимо б последней добавлять сигнал .

Рис. 8.2.2.

Уравнения, описывающие блок-схему рис. 8.2.2, имеют вид

(8.2.14)

Соотношения — точно описывают неизвестный объект (8.2.1), (8.2.2), однако число уравнений (8.2.14) на уравнений больше, чем число уравнений составляющих (8.2.1) (z и v — -мерные векторы), и поэтому уравнение (8.2.14) называют неминимальной реализацией неизвестного объекта.

Сходимость (устойчивость) процесса настройки модели.

Переходя к рассмотрению задачи об определении векторов неизвестных параметров и вектора переменных состояния объекта (8.2.1), (8.2.2), используем, как и ранее, настраиваемую модель. Используя неминимальную реализацию примем настраиваемую модель

(8.2.17)

где — настраиваемые параметры. Блок-схема настраиваемой модели, соответствующая уравнениям (8.2.17), приведена на рис. 8.1.3, где следует положить

Алгоритм настройки параметров модели описывается уравнениями (8.1.29), (8.1.30). Исследуем сходимость процесса настройки параметров модели к неизвестным параметрам объекта. Уравнения (8.1.29), (8.1.30) в матричной форме имеют вид

(8.2.18)

где .

Вычитая (8.2.14) из (8.2.17), получим уравнения для разности выходов объекта и настраиваемой модели:

(8.2.19)

Для доказательства сходимости процесса настройки используем функцию Ляпунова

(8.2.20)

где .

Полная производная функции Ляпунова в силу уравнений (8.2.18), (8.2.19)

(8.2.21)

Очевидно, что

(8.2.22)

Последнее следует из (8.2.20), так как . Пусть . Тогда на основе (8.2.22) получим

(8.2.23)

Так как , то и, следовательно, стремятся к нулю при . Последнее означает, в соответствии со вторым методом Ляпунова, что

(8.2.24)

Из (8.2.19) при условии (8.2.24) получим

(8.2.25)

Отсюда следует, что если векторы z и v линейно независимы,то

(8.2.26)

Векторы z, v линейно независимы, в частности, когда вход «достаточно богат».

Пример 8.2.2. Рассмотрим объект управления [8.6]

параметры

которого неизвестны. Требуется найти эти параметры. Для этого сформируем настраиваемую модель (8.2.17):

Настраиваемые параметры модели (8.2.29) будем изменять в соответствии с алгоритмами (8.1.35), (8.1 36), в которых

(8.2.31)

На рис. 8.2.3 приведены процессы настройки параметров модели. Нетрудно видеть, что . Графики, приведенные на рис. 8.2.3, получены путем совместного решения уравнений (8.2.27), (8.2.29), (8.1 35), (8.1.36) при числовых значениях (8.2.28), (8.2.31). При этом

(8.2.32)

Рис. 8.2.3.