Аналитическое конструирование регуляторов для нелинейных объектов.
Рассмотрим объект управления, описываемый уравнениями
Пусть правые части этих уравнений разложимы в ряд Тейлора в окрестности точки 
. Тогда (4.1.40) имеет вид
Требуется найти управления
при которых на движениях системы (4.1.41), (4.1.42), возбужденных произвольными начальными отклонениями, минимизируется функционал (4.1.3). Решение этой задачи получено в [4.10].
Приведем это решение, ограничиваясь для простоты случаем 
. В этом случае уравнения (4.1.41) запишем (обозначая 
), 
и т. д.) так:
Уравнение (2.3.8), (2.3.9) метода динамического программирования имеют в рассматриваемом случае вид
Исключая и из (4.1.43) с помощью (4.1.44), получим
Решение этого уравнения будем искать в виде
Подставляя (4.1.46) в (4.1.45), получим
Приравнивая нулю совокупность коэффициентов при одинаковых степенях 
, получим уравнения для определения неизвестных параметров 
. формы (4.1.46). Так, для совокупности коэффициентов при 
имеем
для совокупности коэффициентов при 
получим
и т. д.
Уравнение (4.1.48) совпадает с уравнением (4.1.9) и его решение имеет вид
Уравнения (4.1.49) запишем в более удобной форме с учетом (4.1.11)
Это, уравнение в отличие от (4.1.48) является линейным уравнением для определения коэффициента 
формы (4.1.46). Решение этого уравнения существует, если 
. Последнее выполняется в силу асимптотической устойчивости уравнения 
, описывающего замкнутую оптимальную в смысле функционала (4.1.3) систему с линейным объектом (4.1.1).
Приравнивая нулю совокупность коэффициентов при 
, получим
Это уравнение, как и предыдущее, является линейным относительно неизвестного параметра 
и т. д.
В соответствии с (4.1.44) искомое управление имеет вид
где
функция
находятся в результате решения алгебраического уравнения Риккати (4.1.12), а коэффициенты 
кубичной и последующих форм являются решениями линейных алгебраических уравнений Ляпунова вида (4.1.37), в которых вместо матрицы А нужно подставить матрицу 
(
- матрица оптимального управления (4.1.2) для линейного объекта), a Q — это известная матрица, составленная из матриц, полученных для предшествующих форм.
