Глава 7. СИСТЕМЫ ЭКСТРЕМАЛЬНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Исторически первыми адаптивными системами были системы экстремального регулирования (СЭР). В § 7.1 этой главы вводятся понятия экстремального управления и изучаются физические принципы построения таких систем; § 7.2 посвящен общим алгоритмам адаптивного управления, основанным на методе градиента.

Получены условия сходцмости процесса поиска экстремума.

В § 7.3 процесс поиска экстремума усложнен случайными внешними воздействиями. Получены дополнительные условия, накладываемые на параметры алгоритма управления, при которых обеспечивается отыскание экстремума.

§ 7.1. Принципы экстремального регулирования

Понятие экстремального управления. Характерным для многих объектов и процессов в ряде отраслей промышленности является наличие экстремума выходных характеристик. Такие объекты называются экстремальными. Их примерами могут служить различные топки, двигатели внутреннего сгорания, выпарные аппараты в химической промышленности, отсадочные и флотационные машины в обогатительной промышленности. Анализ технологических процессов показывает, что экстремальную статическую характеристику можно ожидать там, где одновременно протекает несколько процессов, ведущих к противоположным результатам. Например, температура топки определяется количеством сжигаемого топлива, а также температурой и количеством подаваемого воздуха. При малом количестве воздуха (при малой скорости воздуха, продуваемого через топку) топливо сгорает не полностью и, следовательно, выделяется меньше теплоты. При избытке воздуха (при большой скорости воздуха, продуваемого через топку) топливо сгорает полностью, но значительное количество теплоты расходуется на нагрев избытка воздуха и уносится из топки проточным течением воздуха. При некотором соотношении количества топлива и скорости воздуха температура свода печи будет максимальной. Уравнение для температуры топки имеет вид

(7.1.1)

где — скорость продуваемого через топку воздуха; — неопределенный параметр, зависящий от количества и качества топлива (он зависит от времени, так как в процессе горения изменяется количество и качество топлива).

Экстремальные характеристики топки приведены на рис. 7.1.1. Задача экстремального управления температурой топки состоит в определении закона изменения во времени скорости воздуха через топку, при котором температура топки имеет наибольшее значение.

Рис 7.1.1.

На рис. 7.1.1 указаны значения , при которых достигается максимальное значение температуры в условиях «дрейфа» характеристики топки, вызванного изменением параметра .

В общем случае уравнение безынерционного экстремального объекта регулирования нетрудно получить из (1.1.1), если положить и разрешить полученное равенство , где пока полагаем ) относительно переменной . Тогда получим, опуская индекс у ,

(7.1.2)

Функция J обладает тем свойством, что для каждого фиксированного набора чисел существует набор , при котором достигает минимума или максимума. Это означает в случае минимума, что

Далее для простоты полагаем, что для любого набора ось набор единственный (функция имеет только одну точку экстремума-минимума). Как и ранее будем полагать, что весь интервал функционирования объекта можно разбить на подынтервалы в течение которых неопределенные параметры являются постоянными.

Безынерционность объекта позволяет упростить структуру адаптивного регулятора, сведя ее лишь к адаптору. Математически это означает, что . Другими словами, управляющее воздействие формируется как настраиваемые параметры (из условия ), поэтому они называются иногда управляющими параметрами.

Таким образом, уравнение экстремального объекта принимает вид

(7.1.3)

где — управляющие настраиваемые параметры.

Объекты экстремального управления (экстремальные объекты) можно классифицировать по различным признакам. Среди этих признаков можно выделить следующие: 1) число управляющих (оптимизирующих) параметров; 2) число экстремумов характеристики () объекта; 3) объем априорной информации об объекте: 4) инерционность объекта.

Рассмотрим каждый из этих признаков. Если число управляющих параметров , то экстремальный объект называется однопараметрическим, а если , то многопараметрическим. Топка, рассмотренная в предыдущем разделе, является однопараметрическим экстремальным объектом. Уравнение однопараметрического объекта имеет вид

(7.1.4)

Пример 7.1.1 (многопараметрический объект). При обработке результатов аэрофотосъемки широко применяется автоматическая система совмещения изображений. Суть этой системы сводится к следующему. Известно, что световой поток через совмещаемые изображения имеет экстремальный характер, при этом максимум потока достигается при совмещении (совпадении) изображений. Положение изображения определяется двумя декартовыми координатами и углом поворота (рис 7.1.2).

Рис. 7.1.2.

Таким образом, световой поток через совмещаемые изображения, измеряемый фотоэлементами, зависит от трех управляющих параметров . Задача совмещения заключается в определении таких их значений, при которых ток фотоэлемента максимален. Объект этой системы является трехпараметрическим.

Второй признак классификации позволяет различить многоэкстремальные объекты управления. Говоря об объеме информации об объекте, далее будем полагать, что объект (7.1.3) одноэкстремальный, а характеристика — непрерывная и непрерывно-дифференцируемая функция своих аргументов. Инерционностью экстремального объекта часто пренебрегают, поскольку главным в системах экстремального регулирования (СЭР) является «отслеживание» дрейфа экстремума статической характеристики объекта.

Рис. 7.1.3.

В связи с этим экстремальные системы часто называют статическими самонастраивающимися системами.