Вариационная задача с закрепленными граничными точками. Первое необходимое условие экстремума (уравнение Эйлера).

Исследуем на экстремум (максимум или минимум) функционал

где - непрерывная и трижды дифференцируемая функция своих аргументов.

Искомая функция (для которой этот функционал принимает экстремальное значение) удовлетворяет краевым условиям

Задача о нахождении экстремума функционала (2.1.1) при условиях (2.1.2), в которых — заданные числа, называется вариационной задачей с закрепленными граничными точками. Непрерывно дифференцируемые функции , определенные на и удовлетворяющие условиям (2.1.2), называются допустимыми функциями.

Переходя к решению вариационной задачи, допустим, что ее решение — кривая - найдено. Возьмем некоторую функцию и включим ее в однопараметрическое семейство кривых

где а — некоторое число.

Рис. 2.1.3

Рис. 2.1.4

Концы варьируемых кривых естественно также закреплять в точках (2.1.2) (рис. 2.1.4), и поэтому

Рассмотрим значения, которые принимает функционал (2.1.1) на кривых семейства (2.1.3),

где .

Нетрудно видеть, что при известных кривых функционал (2.1.1) становится функцией . Эта функция достигает своего экстремума при , так как, по определению, .

Необходимым условием экстремума функции при является, как известно, равенство

Подставляя в это условие выражение (2.1.5), получим t 1

После интегрирования по частям

и тогда запишем (2.1.6) окончательно с учетом краевых условий в виде

В этом выражении сомножитель является на кривой

, реализующей экстремум, заданной непрерывной функцией, а второй сомножитель - произвольная (в силу произвола при выборе функции ) дифференцируемая функция.

При этих условиях из (2.1.7) следует тождество

(2.1.8)

которое выполняется на экстремалях .

Доказательство того, что (2.1.8) следует из (2.1.7), опирается на основную лемму вариационного исчисления, которая формулируется так: если для каждой непрерывной функции (удовлетворяющей условию )

(2.1.9)

где - непрерывная на отрезке функция, то на том же отрезке.

Для доказательства предположим (в противоречии с ее утверждением), что в точке значение . Тогда придем к противоречию с утверждением леммы. Действительно, из непрерывности функции следует, что если , то сохраняет знак в некоторой окрестности точки t. Выбирая функцию сохраняющей знак на отрезке и равной нулю вне этого отрезка, заключаем, что произведение сохраняет знак на отрезке и равно нулю вне этого отрезка и, следовательно,

а это противоречие и доказывает Лемму. Таким образом, является решением уравнения

(2.1.10)

которое называется уравнением Эйлера.

Принимая во внимание, что

запишем (2.1.10) в развернутой форме:

(2.1.11)

Его решения , где постоянные, определяемые краевыми условиями (2.1.2), называются экстремалями.

Пример 2.1.1. Найдем кривую , проходящую через заданные точки в моменты времени на которой достигает экстремума функционал

где — заданное число.

В рассматриваемом случае , поэтому

и уравнение Эйлера для экстремалей функционала (2 1.12) имеет вид

Решением этого уравнения является (как нетрудно проверить непосредственной подстановкой) кривая

Используя граничные условия, определим значения постоянных из уравнений