Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Оптимальное по быстродействию управление линейными объектами.Рассмотрим важный для практики частный случай задачи об оптимальном быстродействии, когда уравнения (3.1.1) объекта линейны и имеют вид
В этом случае функция
Сопряженная система (3.1.7) записывается так:
Для линейных объектов принцип максимума является не только необходимым, но и достаточным условием оптимальности по быстродействию. В соответствии с (3.1.8) для оптимальности управления необходимо и достаточно, чтобы функция (3.1.13) принимала наибольшее значение при ограниченном
При
где Необходимым условием экстремума всякой гладкой функции, заданной в открытой области изменения ее аргумента, является равенство нулю ее производной. Если функция задана в замкнутой области, то ее экстремум может достигаться как внутри, так и на границе этой области. В рассматриваемом случае функция Спрашивается, каково же должно быть
Это выражение справедливо для каждого момента времени, и поэтому оптимальное управление имеет вид
Возвращаясь к общему случаю
Таким образом, для линейных объектов принцип максимума дает явный вид (3.1.18) оптимального управления, а краевая задача состоит в определении вектора
(
удовлетворяют краевым условиям (3.1.2), (3.1.3). Заметим, что корни характеристического уравнения объекта (3.1.12) и сопряженной системы (3.1.14) равны по модулю, однако противоположны по знаку. Действительно, характеристический полином объекта имеет вид Трудности решения краевой задачи для системы
Рис. 3.1.1. Этот метод сводит задачу об оптимальном программном управлении в линейных системах к так называемой проблеме моментов, изучаемой в функциональном анализе. Доступное изложение метода приведено в [3.5]. Пример 3.1.2. Пусть объект управлении описывается уравнением
Требуется определить функцию управления
в нулевое положение
за минимальное время. Вводя обозначения
Функция
а сопряженная система (3.1.14) имеет вид
Из (3.1.23) заключаем, что искомое оптимальное управление имеет вид
Разрешая последнюю систему трех уравнений относительно
для определения функции Теорема об
На рис. 3.1.2 приведен график изменения во времени одной из этих функций. Каждую точку разрыва оптимального управления будем называть точкой переключения. Число переключений каждого из управлений Этот случай составляет содержание теоремы об Теорема 3.1.1 (об При доказательстве теоремы ограничимся для простоты случаем Обозначим через
где Поскольку число корней (нулей) функции Утверждение 3.1.1. Если Допустим противное, что функция
которая также имеет не менее трех действительных корней. Из математического анализа (теорема Ролля) следует, что между двумя действительными корнями функции лежит по крайней мере один корень ее производной.
Рис. 3.1.2. Следовательно, производная функции (3.1.28) имеет не менее двух действительных корней. С другой стороны, эта производная определяется выражением
в которой числа
|
1 |
Оглавление
|