§ 4.1. Процедуры аналитического конструирования регуляторов

Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов на основе метода динамического программирования.

Рассмотрим объект управления, возмущенное движение которого описывается в первом приближении уравнением

где А и В — заданные матрицы чисел размеров соответственно.

Требуется найти матрицу чисел (размеров ) уравнения регуляторов

такую, чтобы на асимптотически устойчивых движениях системы (4.1.1), (4.1.2), возбужденных произвольными начальными отклонениями , минимизировался функционал

где Q — заданная положительно-определенная матрица размеров для всех , это обозначается далее .

Матрицу С закона управления (4.1.2) иногда называют матрицей коэффициентов усиления регулятора.

Переходя к решению этой задачи об оптимальной стабилизации на основе метода динамического программирования, ограничимся вначале случаем . В этом случае уравнения системы и функционал примут вид

Тогда уравнения (2.3.8), (2.3.9) метода динамического программирования запишутся как

Предпоследнее равенство выражает необходимое условие экстремума правой части (4.1.4). Нетрудно проверить, что при этом управлении достигается ее минимум. Действительно,

Этот минимум — единственный и поэтому единственно управление вида (4.1.5). Правда, как будет показано ниже, уравнению (4.1.4) удовлетворяет не единственная функция v. Эта функция доопределяется из условия устойчивости системы (4.1.1), (4.1.2.).

Исключая и из (4.1.4) с помощью (4.1.5), получим нелинейное уравнение в частных производных:

Решение этого уравнения при краевом условии

будем искать в виде

Подставляя это выражение в (4.1.6), получим

Отсюда следует алгебраическое уравнение для определения известного коэффициента в (4.1.7):

Из двух решений

этого уравнения выбираем первое исходя из условия положительности функции , обеспечивающего асимптотическую устойчивость синтезируемой системы, а следовательно, и выполнение краевого условия .

На основе (4.1.5) получаем

и, таким образом, искомое число

В общем случае уравнения (4.1.9), (4.1.11) аналитического конструирования регуляторов имеют вид

где — симметричная матрица чисел размеров .

Вывод этих уравнений приведен в приложении 4. Матричное уравнение (4.1.12) имеет два названия: первое — матричное алгебраическое уравнение Риккати (смысл такого названия станет ясен несколько позже), второе — уравнение Лурье (А. И. Лурье получил уравнение вида (4.1.12) при исследовании абсолютной устойчивости систем регулирования [4.2]).

Таким образом, процедура 4.1.1 аналитического конструирования регуляторов (процедура АКОР) состоит из трех операций: 1) решение системы нелинейных алгебраических уравнений; 2) выделение из всего множества этих решений матрицы (численный метод нахождения приведен ниже); 3) вычисление искомой матрицы коэффициентов усиления регулятора по формуле

Убедимся непосредственно, что матрица С, определяемая соотношением (4.1.14), обеспечивает асимптотическую устойчивость системы (4.1.1), (4.1.2). Для исследования устойчивости системы воспользуемся прямым методом Ляпунова. Примем в качестве функции Ляпунова и вычислим полную производную этой функции:

Учитывая, что матрица С определяется выражением (4.1.14), получим, с учетом того, что удовлетворяет (4.1.12),

Если объект (4 1.1) полностью управляем и , то среди решений системы (4.1.12.) всегда найдется и при том единственная положительно-определенная матрица .

Напомним, что условием полной управляемости объекта (4.1.1) является равенство

которое будем называть условием управляемости пары . Если матрица Q — неотрицательно-определенная матрица , то ее всегда можно представить в виде

где — матрица размеров ( — ранг матрицы Q). Среди решений (4.1.12) по-прежнему существует [4.6] единственная матрица , если Q в функционале (4.1.3) неотрицательно-определенная матрица, удовлетворяющая условию полной управляемости пары ():

Требование полной управляемости пар для существования и единственности можно ослабить, заменив его условием стабилизируемости этих пар [4.6].

Пример 4.1.1. Уравнение процедуры аналитического конструирования регулятора гирорамы. Осуществим первый этап (составление уравнений (4.1.12), (4.1.13.) аналитического конструирования регулятора гирорамы.

Опишем вначале физическое содержание задачи стабилизации гирорамы [4.3], поскольку на примере решения этой задачи будут иллюстрироваться результаты, приведенные в этой и следующих главах.

Рис. 4.1.1.

Рис. 4.1.2.

Рассмотрим трехстепенной гироскоп в кардановом подвесе (рис. 4.1.1). Его уравнения имеют вид [4.4]:

— угол поворота наружной рамы относительно оси ; — угол поворота внутреннего кольца карданова подвеса относительно оси ОХ (угол прецессии); — момент инерции наружной рамы (кольца) относительно оси ; — экваториальный момент инерции гироскопа; — моменты инерции внутреннего кольца карданова подвеса относительно осей OZ, ОХ, OY соответственно, при этом ; — кинетический момент гироскопа; — моменты относительно осей ОХ и OY соответственно; — коэффициенты демпфирования.

Гироскоп в кардановом подвесе используется (если установить на оси OY датчик угла) для измерения углов поворота движущегося объекта (например, ракеты) относительно оси OY. Однако из-за вредных моментов по этой оси (трения, дисбаланса и т. п.) гироскоп начинает «прецессировать» относительно оси ОХ, т. е. ось OZ начинает поворачиваться в направлении оси OY, и гироскоп теряет свойство быть индикатором поворота летательного аппарата. Явление прецессии следует непосредственно из уравнения (4.1.17), если в нем пренебречь всеми слагаемыми в левой части, кроме последнего слагаемого (так как ). Прецессию можно измерить, установив на оси ОХ датчик угла. Усилим этот сигнал и подадим его на двигатель, который развивает полезный момент, равный и противоположный по знаку вредному. Тогда прецессия прекратится и гироскоп будет сохранять свои функции. Гироскоп в кардановом подвесе с системой стабилизации угла прецессии называется гирорамой. Ее схема приведена на рис. 4.1.2, где ДУП — датчик угла прецессии, ДМ — датчик момента (двигатель).

Запишем уравнения (4.1.16), (4.1.17) в форме Коши.

Пренебрегая значениями по сравнению с полагая и вводя обозначения

запишем (4.1.16), (4.1.17) в виде

Разлагая правые части этих уравнений в ряд Тейлора в окрестности точки , получим уравнения первого приближения

где и пропорционально моменту, развиваемому датчиком моментов, a пропорционально вредному моменту по оси .

Полагая пока , будем искать управление

при котором на движениях гирорамы (возбужденных начальными отклонениями) минимизируется функционал

Переходя к решению этой задачи, запишем уравнения (4.1.12), (4.1.13) процедуры АКОР. Первое из этих уравнений имеет вид

Это матричное уравнение можно записать в виде системы уравнений

(Из-за симметричности матрицы А число этих уравнений не ).

На основе уравнений (4.1.13) получим

Таким образом, аналитическое конструирование регулятора гирорамы (системы стабилизации гирорамы) сводится к решению алгебраических уравнений (4.1.23) и нахождению искомых параметров регулятора (4.1.21) по формулам (4.1.24.).