Аналитическое конструирование по критерию обобщенной работы.

В 1967 г. А. А. Красовский предложил [4.8] упрощение процедуры АКОР с вычислительной стороны. Для этого в функционал (4.1.3) вводится дополнительное слагаемое, с учетом которого функционал оптимизации принимает (в развернутой форме) вид

где квадратичная форма содержит положительно-определенную матрицу , являющуюся решением матричного алгебраического уравнения

(4.1.37)

Оптимальное управление определяется по-прежнему на основе формулы (4.1.13). Для того чтобы убедиться в этом, положим вначале . Функционал (4.1.36) примет вид

Подставляя в уравнение (4.1.6) вместо выражение

получим вместо нелинейного алгебраического уравнения (4.1.9) линейное уравнение

для определения коэффициента квадратичной формы .

Таким образом, аналитическое конструирование по критерию обобщенной работы состоит в решении линейного алгебраического уравнения (4.1.37) и вычисления искомой матрицы С по формуле (4.1.13). Уравнение (4.1.37) называется уравнением Ляпунова. Оно имеет единственное решение , в частности, тогда, когда собственные числа матрицы А имеют отрицательные вещественные части. При этом условии нетрудно показать, что синтезированная система асимптотически устойчива. Действительно, в соответствии с прямым методом Ляпунова примем в качестве функции Ляпунова функцию , вычисляя ее полную производную по времени, получим, что

Функционал (4.1.36) называется [4.9] критерием обобщенной работы. Это название связано с тем, что последнее слагаемое в (4.1.36) можно записать как , который выражает собой «энергию» (обобщенную работу) оптимального управления .