Оценка параметров СС-модели.

Пусть в — измеряемая (либо известная) функция управления и пусть измерение осуществляется при наличии помехи , тогда модель со скользящим средним примет вид

(9.2.48)

Это соотношение, выражающее выходной сигнал линейной стационарной системы как взвешенную сумму прошлых значений входного сигнала, можно записать в векторной форме

(9.2.49)

где .

Для оценки вектора h будем минимизировать функцию

(9.2.50)

Аналогично (9.2.20) заключаем, что h является решением уравнения

(9.2.51)

Здесь следует отметить, что такая оценка h не является несмещенной, за исключением случая, когда и некоррелированы. Убедимся в этом на простом примере. Пусть

(9.2.52)

Тогда в соответствии с (9.2.51) получим

(9.2.53)

Подставляя в (9.2.53) выражение (9.2.52) для , получим

Отсюда видно, что не стремится к при , за исключением случая, когда . Отметим, что последнее имеет место, в частности, тогда, когда является «белым шумом». Из этого вытекает необходимость «отбеливания» процесса .

В связи с этим опишем помеху авторегрессионной моделью

(9.2.55)

где — гауссовский «белый шум» с нулевым средним.

Требуется оценить параметры . Модель, описываемую уравнениями (9.2.48), (9.2.55), можно записать как

(9.2.56)

где .

Исключая переменную , получим

Обозначая

(9.2.58)

представим (9.2.57) в форме

которую можно переписать в векторном виде

(9.2.59)

где .

Теперь, если порядки q и известны, то для получения несмещенных эффективных оценок а можно применить рекуррентный алгоритм , затем найти, используя (9.2.58),

(9.2.60)