Численное решение задачи об оптимальном стабилизирующем управлении.

Допустим, что удалось найти в явной форме управление, при котором выражение в фигурных скобках, входящее в (2.3.7), достигает минимума:

где вектор с компонентами .

Подставляя это выражение в (2.3.7), получим нелинейное уравнение в частных производных первого порядка

Численное решение этого уравнения при краевых условиях (2.3.15) представляет собой более трудную задачу, чем решение краевой задачи принципа максимума, так как там речь шла о кревой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений, а здесь о краевой задаче для уравнений в частных производных.

Это увеличение трудностей численного решения естественно, так как на основе метода динамического программирования решается более сложная задача синтеза управлений, тогда как принцип максимума доставляет управления как функции времени. Кстати, эти функции получаются и применением метода динамического программирования к задаче об оптимальном программном управлении, если в управления подставить вместо оптимальные траектории.

Для решения уравнения (2.3.17) применяют известные методы [2.10], [2.11] решения уравнений в частных производных (разностные методы, метод характеристик, метод прямых и т. п.), однако имеется специальный метод приближенного численного решения этого уравнения. Этот метод состоит в замене дифференциальных уравнений (2.3.1) системой дифференциально-разностных уравнений, а интеграла (2.3.3) — суммой и в использовании для нахождения оптимального дискретного управления в такой системе на основе функционального уравнения для дискретных систем. Собственно, исторически такое функциональное уравнение и было впервые получено при синтезе оптимального управления именно дискретных систем.

Подробное изложение метода динамического программирования для дискретных систем приведено в приложении 3.

Пример 2.3.1 Рассмотрим объект управления, возмущенное движение которого описывается в первом приближении уравнениями

Требуется найти управление , такое, чтобы функционал

(где — заданные числа) принимал наименьшее значение при движениях объекта, возбужденных произвольными начальными отклонениями. На искомое управление наложено ограничение

Переходя к исследованию этой задачи, запишем функциональное уравнение метода динамического программирования

и краевые условия

Выражение в фигурных скобках достигает минимума, когда

Это соотношение вместе с уравнением

и краевым условием (2.3 22) образует краевую задачу метода динамического программирования.