Точность и качество оптимальных систем.

Возвращаясь к общему случаю, исследуем зависимость точности и качества оптимальной системы (4.3.1), (4.3.2) от коэффициентов функционала (4.3.3).

Вначале введем понятие о точности и качестве этой системы. Для этого необходим -мерный вектор регулируемых переменных, связанных с вектором соотношением

где N — заданная матрица чисел размеров .

Пусть к объекту (4.3.1) приложено внешнее возмущение . Тогда уравнение объекта примет вид

где W — заданная матрица чисел размеров .

В качестве -мерного вектора обычно принимают типовые возмущения: ступенчатые, гармонические, импульсные и т. п.

Так, ступенчатые возмущения

Точность системы (4.3.1), (4.3.2), (4.3.39) определяется значением вектора установившихся ошибок по регулируемым переменным [4.15].

При ступенчатых возмущениях он называется вектором статических ошибок, компоненты которого

Качество рассматриваемой системы определяется временем регулирования и перерегулированием по каждой из регулируемых переменных при ступенчатых внешних воздействиях.

Время регулирования по регулируемой переменной находится как обычно (это время, через которое попадает в пятипроцентную трубку в окрестности ), а

Требования к точности и качеству системы (4.3.1), (4.3.2), (4.3.38) выражаются соотношениями:

где — заданные числа.

Теперь введем в рассмотрение функционал, содержащий регулируемые переменные:

Производные компонент вектора в этом функционале можно исключить, используя соотношение . Для того чтобы избежать произведений и и в подынтегральном выражении, далее будем полагать, что

В этом случае функционал (4.3.43) принимает стандартный вид

где

-мерный вектор внешних возмущений и пусть он приложен к объекту в местах приложения управления. Это означает, что матрицы В и W в (4.3.40) совпадают:

При этом условии и выполнении (4.3.46) можно установить в явной форме связь между точностью и качеством системы, с одной стороны, и коэффициентами функционала, в смысле которого эта система с другой. В конструктивной форме эта связь выражается [4.15] следующим образом.

Утверждение 4.3.2. Пусть нужно построить закон управления (4.3.2) для объекта (4.3.39), (4.3.40), такой, чтобы эта система удовлетворяла требованиям (4.3.43), (4.3.44) к точности и качеству. Для этого достаточно использовать процедуру АКОР для объекта (4.3.1) и функционал (4.3.45). Для обеспечения требований (4.3.43) к точности коэффициенты этого функционала выбираются из соотношений

где — -мерный вектор чисел с компонентами (4.3.41). Требования (4.3.44) к времени регулирования будут выполнены, если при достаточно больших принять

При этом переходные процессы по регулируемым переменным будут носить апериодический характер.

Доказательство первой части утверждения [соотношения (4.3.50)] опирается на связь между вектором регулируемых переменных и внешним возмущением и на условие оптимальности (4.3.8). Указанная связь имеет вид

Действительно, преобразуя (4.3.40) по Лапласу при нулевых начальных условиях, получим, используя (4.3.39), (4.3.49),

Исключим из этого выражения сумму . Для этого на основе (4.3.2), (4.3.40) запишем . Отсюда, прибавляя к обеим частям вектор f, получим соотношение , подставляя которое в (4.3.53) приходим к (4.3.52). Эту зависимость запишем в виде

Отсюда следует, что

Теперь воспользуемся условием оптимальности (4.3.8), которое с учетом структуры матрицы в функционале (4.3.47) представим как

При выводе последнего выражения использовалось очевидное тождество

Подставляя (4.3.55) в (4.3.54) и пренебрегая при достаточно больших слагаемым

получим

Учитывая, что , и умножая (4.3.56) на , а также полагая, что , найдем

Если выбрать в соответствии с соотношением (4.3.50), то, как следует из (4.3.57), статические ошибки в системе будут не более .

Обоснование второй части утверждения (соотношения (4.3.51) и апериодичности переходных процессов по регулируемым переменным) опирается на (4.3.56) и гипотезу, которую приведем ниже.

Соотношение (4.3.56) в развернутой форме имеет вид

При

(с точностью до указанного при построении (4.3.56) слагаемого) выражение (4.3.58) превращается в тождество. Оригинал изображения (4.3.59)

Отсюда следует, что время регулирования m), а переходный процесс апериодический. Такой вывод опирается на гипотезу, что решение (4.3.59) уравнения (4.3.58) единственно.