§ 3.1. Системы программного управления, оптимальные по быстродействию

Принцип максимума для оптимальных по быстродействию систем.

Задача определения оптимального по быстродействию программного управления состоит в нахождении управлений , при которых объект

переводится из состояния

в состояние

( — заданы, — неизвестно), при этом функционал

принимает наименьшее значение.

Опираясь на теорему 2.2.1, выведем необходимые условия оптимальности по быстродействию.

Из (3.1.4) следует, что , и поэтому

Вводя функцию

Запишем (3.1.1) и сопряженную систему в виде .

При фиксированных и становится функцией . Обозначим

Очевидно, что

Таким образом, необходимое условие (2.2.19) для оптимальности по быстродействию принимает вид

Пример 3.1.1. Оптимальное управление в системе «генератор — двигатель». Рассмотрим задачу об оптимальном по быстродействию программном управлении в системе «генератор — двигатель».

Пренебрегая динамическими процессами в обмотках возбуждения двигателя и генератора, запишем уравнения (1.1.18), (1.1.19) при в виде

Требуется записать краевую задачу принципа максимума для определения функций (удовлетворяющих неравенствам ), при которых вал двигателя поворачивается из заданного положения в другое заданное положение за наименьшее время.

Функция имеет в рассматриваемом случае вид

в ней вспомогательные переменные и удовлетворяют уравнениям

Уравнения (3 1.9). (3 1.11) образуют краевую задачу принципа максимума для оптимального по быстродействию управления.