Адаптивный регулятор для объекта, степень числителя передаточной функции которого на единицу меньше степени знаменателя.

Отметим вначале, что в рассматриваемом случае можно положить , поскольку параметры полинома степени всегда можно выбрать так, чтобы была строго пассивной. Структурная схема адаптивной системы приведена на рис. 8.4.1. В этой схеме вспомогательные генераторы описываются уравнениями

(8.4.5)

а сигналы имеют вид

(8.4.6)

где — -мерные векторы переменных состояния вспомогательных генераторов; — настраиваемые параметры, где — заданная матрица чисел, имеющая следующую структуру:

где есть -мерный вектор-строка;

Очевидно, что

(8.4.7)

где

(8.4.8)

Здесь

(8.4.9)

Рис. 8.4.1.

Непосредственно из рис. 8.4.1 следует, что

(8.4.10)

Вводя -мерные векторы

(8.4.11)

запишем (8.4.10) в компактной форме

(8.4.13)

На основе структурной схемы заключаем, что передаточная функция объекта с адаптивным регулятором при постоянном значении вектора настраиваемых параметров имеет вид

Действительно, из рис. 8.4.1 следует, что

(8.4.15)

Учитывая, что , и подставляя сюда (8.4.15), получим (8.4.14).

В [8.5] показано, что всегда существует вектор р, такой, что полином в знаменателе

где - произвольный полином степени с коэффициентом при равным 1. Полагая

(8.4.16)

заключаем, что передаточная функция объекта с регулятором

(8.4.17)

Таким образом, второе из равенств (8.4.16) служит для определения вектора q в матрице F уравнений вспомогательных генераторов. Для завершения описания адаптивной системы необходимо определить алгоритм настройки вектора .

Отметим, что в следующем параграфе будет рассматриваться случай, когда и - полиномы степени . В этом случае соотношения (8.4.16) принимают вид

(8.4.18)

Утверждение 8.4.1. Алгоритм настройки параметров управления (8.4.13), при котором достигается цель управления (8.4.4) для объекта с неизвестной передаточной функцией (8.4.2) при , имеет вид

где Г — произвольная положительно-определенная матрица чисел размеров .

Доказательство утверждения приведено в приложении 8.

Пример 8.4.1. Пусть имеется объект управления с передаточной функцией

(8.4.20)

параметры которой неизвестны.

Требуется построить адаптивный регулятор, при котором выход объекта у приближался бы к выходной переменной эталонной модели с передаточной функцией

Переходя к построению регулятора, отметим, что, как нетрудно проверить, передаточная функция модели (8 4.21) является строго пассивной.

Определим из равенства (8.4 16) параметры уравнений состояния вспомогательных генераторов

(8.4.22)

Структурная схема рассматриваемой адаптивной системы приведена на рис 8.4.2.

Рис. 8.4.2.

Алгоритм настройки параметров регулятора

(8.4.23)

имеет вид

(8.4.24)

где - положительные числа.