§ 2.2. Принцип максимума

Развитие систем управления, ужесточение требований к их точности при ограниченных габаритах и ресурсах привело в годах к использованию вариационного исчисления для построения оптимальных систем управления. Вначале использовались методы классического вариационного исчисления, однако вскоре стало ясно, что для построения систем новой техники (в частности, систем запуска ракет ), систем, оптимальных по быстродействию, и т. п., необходимо дальнейшее развитие вариационного исчисления и создания математической теории оптимального управления. Дело в том, что из-за ограничений на управления (например, ограниченным количеством топлива ракеты, наличием «упоров» рулей управления и т. п.) оптимальные управления оказались кусочно-непрерывными функциями с точками разрыва первого рода, число которых неизвестно. Это противоречило предположению классического вариационного исчисления о непрерывности экстремалей.

Этапом в развитии теории оптимального управления в нашей стране явилась общая постановка проблемы об оптимальном управлении, предложенная в 1954 г. сотрудником Института автоматики и телемеханики АН СССР дроф. А. А. Фельдбаумом на совместном семинаре инженеров и математиков, руководимом акад. Л. С. Понтрягиным. В 1956—1960 гг. Л. С. Понтрягиным и его учениками была разработана математическая теория оптимальных процессов, подытоженная в их всемирно известной монографии [2.7]. Основным результатом этой теории является «принцип максимума», указывающий необходимые условия оптимальности для широкого круга задач оптимального программного управления.

Задача об оптимальном управлении как задача Майера.

Для удобства последующего изложения сформулируем задачу об оптимальном (программном) управлении, ограничиваясь для простоты случаем стационарного (автономного) объекта, и представим ее в форме задачи Майера.

Пусть объект управления описывается уравнением

Управления при каждом t принимают значения из некоторого замкнутого множества U. В качестве такого множества можно, в частности, иметь в виду множество

Назовем допустимыми управлениями те , которые являются кусочно-непрерывными функциями и принимают значения из множества .

Среди допустимых управлений, переводящих объект (2.2.1) из заданного состояния

в другое заданное состояние

требуется найти такое, для которого функционал

принимает наименьшее значение.

Отметим, что в отличие от задачи Лагранжа, приведенной в § 2.1, здесь присутствуют ограничения вида (2.2.2). Кроме того, в (2.2.1) и (2.2.5) функции не зависят явно от . Последнее (стационарность объекта) не снижает общности рассмотрения, так как в противном случае, вводя новую переменную и дополняя (2.1.23) уравнением , получим систему, правая часть которой не зависит явно от .

Сформулированную задачу можно представить как задачу Майера. Действительно, вводя новую координату состояния , удовлетворяющую дифференциальному уравнению

и дополняя соотношение (2.2.3) равенством

получим задачу Майера, в которой требуется найти допустимое управление, переводящее «объект» (2.2.1), (2.2.6) из состояния (2.2.3), (2.2.7) в состояние (2.2.4) так, чтобы в момент времени переменная принимала наименьшее значение.

Опустим пока ограничения (2.2.2) на управления и, принимая в качестве допустимых непрерывные функции управления, запишем уравнения Эйлера — Лагранжа, разрешающие рассматриваемую задачу Майера в этом случае.

Эти уравнения нетрудно получить на основе (2.1.29), (2.1.30), учитывая, что не зависит от производных управлений и переменных состояния. Таким образом,

Переменные часто называют вспомогательными переменными, а уравнения (2.2.9) для их определения называют сопряженной системой.

Запишем теперь уравнения (2.2.1), (2.2.8), (2.2.9) в более компактной форме. Для этого введем в рассмотрение функцию переменных .

используя которую представим (2.2.1), (2.2.6), (2.2.8), (2.2.9) как

Отметим, что эти уравнения выражают необходимое условие экстремума функционала , а в задаче Майера требуется найти его наименьшее значение.

В связи с этим дополним (2.2.12), (2.2.13) необходимым условием минимума, которое называется условием Вейерштрасса,

(2.2.14)

где - бесконечно малая вариация оптимального управления.