Приложение 7. Доказательство теоремы разделения

Запишем функционал (5.2.5) с учетом коммутативности операции интегрирования и математического ожидания в виде

и рассмотрим

где - вектор переменных состояния оптимального наблюдателя (5.2.6), в котором матрица определяется соотношениями .

В соответствии с матрица дисперсий ошибки оптимального наблюдения

так как при оптимальном восстановлении , где — решение уравнения (5.2.9).

Второе слагаемое в

в силу следующего утверждения.

Утверждение . Векторы не . Доказательство этого утверждения будет приведено ниже.

Таким образом,

Полагая в этом выражении и заменяя на получим

Используя эти выражения, запишем функционал (5.2.5) в виде

Заметим, что два последних слагаемых в этом выражении не зависят от управления.

Запишем теперь уравнение оптимального наблюдателя (5.2.6)

Утверждение . Разность

является случайным процессом типа «белый шум» с интенсивностью . Правдоподобность этого утверждения следует из (5.2.2), которое можно записать какх .

Утверждения позволяют свести задачу оптимального в смысле функционала (5.2.5) управления при неполной информации о состояниях объекта (5.2.1); (5.2.2) к задаче оптимального в смысле функционала

стохастического управления для «объекта»

возбужденного случайным процессом , являющимся «белым шумом». Решение этой задачи

где матрица определяется выражениями (5.1.7), (5.1.8), и таким образом, теорема разделения доказана.

Для доказательства утверждения запишем уравнения системы с оптимальным наблюдателем:

Вычитая из первого уравнения системы уравнение , получим

Подставляя в выражение , заключаем

Рассмотрим расширенный вектор , который удовлетворяет дифференциальному уравнению

с начальным условием

Обозначим матрицу дисперсий расширенного вектора через

Дифференциальные уравнения для определения матриц можно получить, используя утверждение П.6.2. Так, подставляя матрицу уравнения , получим, в частности, для матриц уравнения:

с начальными условиями

Таким образом, .

Нетрудно видеть, что уравнение совпадает с уравнением (5.2.9), если определяется на основе (5.2.8.). Следовательно,

Подставляя это выражение в и принимая во внимание (5.2.8), заключаем, что слагаемые в уравнении взаимно уничтожаются. Оставшаяся часть этого уравнения является однородным дифференциальным уравнением с начальным условием , которое имеет решение

По определению с учетом получим

и таким образом, утверждение доказано.

Доказательство утверждения аналогично, если ввести в рассмотрение уравнение

и рассмотреть его совместно с уравнением . Сформировав расширенный вектор , запишем уравнение для матрицы дисперсий расширенного вектора. Анализ этого уравнения приводит к утверждению .