Главная > Оптимальные и адаптивные системы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Приложение 7. Доказательство теоремы разделения

Запишем функционал (5.2.5) с учетом коммутативности операции интегрирования и математического ожидания в виде

и рассмотрим

где - вектор переменных состояния оптимального наблюдателя (5.2.6), в котором матрица определяется соотношениями .

В соответствии с матрица дисперсий ошибки оптимального наблюдения

так как при оптимальном восстановлении , где — решение уравнения (5.2.9).

Второе слагаемое в

в силу следующего утверждения.

Утверждение . Векторы не . Доказательство этого утверждения будет приведено ниже.

Таким образом,

Полагая в этом выражении и заменяя на получим

Используя эти выражения, запишем функционал (5.2.5) в виде

Заметим, что два последних слагаемых в этом выражении не зависят от управления.

Запишем теперь уравнение оптимального наблюдателя (5.2.6)

Утверждение . Разность

является случайным процессом типа «белый шум» с интенсивностью . Правдоподобность этого утверждения следует из (5.2.2), которое можно записать какх .

Утверждения позволяют свести задачу оптимального в смысле функционала (5.2.5) управления при неполной информации о состояниях объекта (5.2.1); (5.2.2) к задаче оптимального в смысле функционала

стохастического управления для «объекта»

возбужденного случайным процессом , являющимся «белым шумом». Решение этой задачи

где матрица определяется выражениями (5.1.7), (5.1.8), и таким образом, теорема разделения доказана.

Для доказательства утверждения запишем уравнения системы с оптимальным наблюдателем:

Вычитая из первого уравнения системы уравнение , получим

Подставляя в выражение , заключаем

Рассмотрим расширенный вектор , который удовлетворяет дифференциальному уравнению

с начальным условием

Обозначим матрицу дисперсий расширенного вектора через

Дифференциальные уравнения для определения матриц можно получить, используя утверждение П.6.2. Так, подставляя матрицу уравнения , получим, в частности, для матриц уравнения:

с начальными условиями

Таким образом, .

Нетрудно видеть, что уравнение совпадает с уравнением (5.2.9), если определяется на основе (5.2.8.). Следовательно,

Подставляя это выражение в и принимая во внимание (5.2.8), заключаем, что слагаемые в уравнении взаимно уничтожаются. Оставшаяся часть этого уравнения является однородным дифференциальным уравнением с начальным условием , которое имеет решение

По определению с учетом получим

и таким образом, утверждение доказано.

Доказательство утверждения аналогично, если ввести в рассмотрение уравнение

и рассмотреть его совместно с уравнением . Сформировав расширенный вектор , запишем уравнение для матрицы дисперсий расширенного вектора. Анализ этого уравнения приводит к утверждению .

1
Оглавление
email@scask.ru