Приложение 7. Доказательство теоремы разделения
Запишем функционал (5.2.5) с учетом коммутативности операции интегрирования и математического ожидания в виде
и рассмотрим
где
- вектор переменных состояния оптимального наблюдателя (5.2.6), в котором матрица
определяется соотношениями
.
В соответствии с
матрица дисперсий ошибки оптимального наблюдения
так как при оптимальном восстановлении
, где
— решение уравнения (5.2.9).
Второе слагаемое в
в силу следующего утверждения.
Утверждение
. Векторы
не
. Доказательство этого утверждения будет приведено ниже.
Таким образом,
Полагая в этом выражении
и заменяя
на получим
Используя эти выражения, запишем функционал (5.2.5) в виде
Заметим, что два последних слагаемых в этом выражении не зависят от управления.
Запишем теперь уравнение оптимального наблюдателя (5.2.6)
Утверждение
. Разность
является случайным процессом типа «белый шум» с интенсивностью
. Правдоподобность этого утверждения следует из (5.2.2), которое можно записать какх
.
Утверждения
позволяют свести задачу оптимального в смысле функционала (5.2.5) управления при неполной информации о состояниях объекта (5.2.1); (5.2.2) к задаче оптимального в смысле функционала
стохастического управления для «объекта»
возбужденного случайным процессом
, являющимся «белым шумом». Решение этой задачи
где матрица
определяется выражениями (5.1.7), (5.1.8), и таким образом, теорема разделения доказана.
Для доказательства утверждения
запишем уравнения системы с оптимальным наблюдателем:
Вычитая из первого уравнения системы
уравнение
, получим
Подставляя в
выражение
, заключаем
Рассмотрим расширенный вектор
, который удовлетворяет дифференциальному уравнению
с начальным условием
Обозначим матрицу дисперсий расширенного вектора через
Дифференциальные уравнения для определения матриц
можно получить, используя утверждение П.6.2. Так, подставляя матрицу уравнения
, получим, в частности, для матриц
уравнения:
с начальными условиями
Таким образом,
.
Нетрудно видеть, что уравнение
совпадает с уравнением (5.2.9), если
определяется на основе (5.2.8.). Следовательно,