§ 4.3. Применение процедур аналитического конструирования регуляторов
Условие оптимальности в частотной форме.
Процедуры аналитического конструирования регуляторов и построения наблюдателей образуют эффективный метод синтеза регуляторов систем, качество которых оценивается с помощью интегрального показателя. Однако часто оказывается, что технические требования к системе трудно непосредственно выразить с помощью такого показателя, поэтому возникает задача выбора коэффициентов функционала оптимизации по заданным требованиям к точности и качеству системы. Для ее решения нужно установить связь между структурой и параметрами функционала оптимизации, с одной стороны, и показателями качества (временем регулирования, перерегулированием, запасами устойчивости по фазе и модулю) и точностью (установившимися ошибками при внешних возмущениях) - с другой (
).
Установление такой связи опирается на условие оптимальности в частотной форме.
Переходя к этому условию, рассмотрим систему
оптимальную в смысле функционала
в котором Q — положительно-определенная матрица. Оптимальность системы (4.3.1), (4.3.2) означает, что матрица
где определенно-положительная матрица 
является решением алгебраического уравнения Риккати:
в котором А и В — заданные матрицы, удовлетворяющие условию управляемости.
Преобразуя (4.3.1), (4.3.2) по Лапласу при нулевых начальных условиях, запишем передаточную матрицу этой системы в разомкнутом состоянии
где s — комплексное число.
Прибавим и вычтем из левой части (4.3.5) произведение 
и умножим полученное равенство слева на 
, а справа на 
, тогда
Вводя обозначение 
, где 
и учитывая (4.3.4), запишем (4.3.7) в виде
Прибавляя к обеим частям единичную матрицу и учитывая выражение (4.3.6) для передаточной матрицы разомкнутой системы, получим окончательно
Полагая 
, получим условие оптимальности в частотной форме
Это условие выполняется для всех вещественных со и связывает частотную передаточную матрицу 
оптимальной системы с параметрами функционала оптимизации.
В дальнейшем изложении большую роль будет играть случай скалярного управления 
. В этом случае уравнения (4.3.1), (4.3.2) имеют вид
(4.3.10)
где 
— скаляр; b и с — 
-мерные векторы-столбцы.
Передаточная функция этой системы
Условие оптимальности (4.3.9) принимает при скалярном управлении вид
(4.3.13)
где 
- рациональные функции, являющиеся компонентами вектора 
.
