Глава 2. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Задачи построения оптимального программного и стабилизирующего управлений, рассмотренные в предыдущей главе, по математическому содержанию являются задачами вариационного исчисления. Методы вариационного исчисления условно можно разделить на классические и современные. К классическим методам относятся методы, основанные на уравнениях Эйлера, Лагранжа, Якоби, Вейерштрасса, а к современным — принцип максимума Понтрягина и метод динамического программирования Веллмана. Современные методы, разработанные в последние десятилетия, своим возникновением обязаны задачам оптимального управления. Их достоинствами (по сравнению с классическими) являются возможность учета ограничений на управление и переменные состояния, более широкий класс функций управления, приспособленность для использования вычислительной техники и т. п.
Первый параграф этой главы посвящен классическим методам отыскания экстремума функционалов, основанным на уравнениях Эйлера и Эйлера — Лагранжа. В § 2.2 приводится решение задачи об оптимальном программном управлении на основе принципа максимума. Показано, что принцип максимума сводит эту задачу к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений. Обсуждаются трудности ее численного решения. В § 2.3 излагается решение задачи об оптимальном стабилизирующем управлении на основе метода динамического программирования. Метод сводит задачу об оптимальном стабилизирующем управлении к краевой задаче для уравнения в частных производных. Указываются трудности численного решения краевой задачи. Устанавливается связь принципа максимума и метода динамического программирования.
§ 2.1. Элементы классического вариационного исчисления
Создание вариационного исчисления.
В 1696 г. появилась заметка И. Бернулли, озаглавленная «Новая задача, к решению которой приглашаются математики». В ней ставилась следующая задача. «В вертикальной плоскости даны две точки А и В (рис. 2.1.1). Определить путь AMВ, опускаясь по которому под действием собственной тяжести, тело М, начав двигаться из точки А, дойдет до точки В в кратчайшее время».
Решение этой задачи было получено самим И. Бернулли, а также Г. Лейбницем, Я. Бернулли и И. Ньютоном. Оказалось, что линией наискорейшего спуска (брахистохроной) является циклоида. После этих работ стали появляться и решаться многие задачи того же типа. И. Бернулли поставил перед своим учеником Л. Эйлером проблему найти общий путь их решения.
В 1744 г. вышел труд Эйлера «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума и минимума или решения изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле», а в 1759 г. появилась работа Лагранжа и с ней новые методы исследования, которые составили новый раздел математики, названный Эйлером вариационным исчислением.
