Оптимальные дискретные наблюдатели (оптимальный дискретный фильтр Калмана — Бьюси).

Рассмотрим объект управления, описываемый уравнениями

(5.3.10)

где - последовательности некоррелированных векторных стохастических величин с нулевым средним и заданными матрицами дисперсий . Здесь

Пусть — случайный вектор, некоррелированный с векторами , при этом

где известны.

Требуется найти уравнение устройства восстановления (наблюдения, фильтрации), выходами которого является оценка неизмеряемого вектора состояний .

При этом критерий

(5.3.12)

(где - заданные положительно-определенные матрицы, ) должен принимать наименьшее значение.

Утверждение 5.3.2. Оптимальный в смысле критерия (5.3.12) наблюдатель (устройство восстановления, фильтрации) для объекта (5.3.10), (5.3.11) описывается уравнением

(5.3.13)

в котором матрицы определяются рекуррентными соотношениями:

(5.3.14)

при начальном условии .

Начальное условие для наблюдателя (5.3.13)

(5.3.17)

Матрицы размеров являются матрицами дисперсий ошибки восстановления . Для оптимального наблюдения среднее значение

(5.3.18)

Доказательство этого утверждения аналогично непрерывному случаю [4.7].

Часто применяют оптимальные наблюдатели вида (5.3.13), в которых вместо используется . Такой наблюдатель описывается уравнениями

(5.3.19)

где

(5.3.20)

В стационарном случае уравнения объекта (5.3.10), (5.3.11) принимают вид

и оптимальный наблюдатель описывается уравнениями

(5.3.23)

где

(5.3.24)

— матрица чисел (размеров ), являющаяся решением уравнения

(5.3.25)

Матрица находится как установившееся решение уравнения

(5.3.26)

при . Иными словами:

Пример 5.3.1. Рассмотрим гирораму, описываемую уравнениями

(5.3.27)

с параметрами из примера 4.1.2 и , где -случайный гауссовский процесс типа «белый шум» с нулевым математическим ожиданием и параметром ковариационной функции .

Пусть процесс измерения датчиком угла прецессии сопровождается случайной гауссовской помехой типа «белый шум» с нулевым математическим ожиданием и параметром ковариационной функции .

Таким образом,

(5.3.28)

Пусть начальное состояние гирорамы

(5.3.29)

Требуется построить наблюдатель (фильтр) переменных , восстанавливающий значения этих переменных в моменты времени , при . При этом сумма дисперсий ошибок восстановления

(5.3.30)

должна быть наименьшей для каждого момента времени .

Переходя к решению этой задачи, запишем дискретную модель гирорамы

(5.3.31)

значения параметров , которой определены (4.1.94).

В соответствии с (5 3.23). уравнения оптимального наблюдения имеют вид:

(5.3.33)

Неизвестные параметры в этих уравнениях определяются на основе (5 3 24):

(5.3.36)

Для нахождения чисел будем на основе (5.3.26) вычислять последовательно (при этом в силу (5.3.29)), . После некоторого числа шагов, когда , примем

(5.3.37)